Изменения

# Рассмотрим множество оптимальных решений задачи линейного программирования $x \ge 0$, $Ax \le b$, $c^Tx \to \mathrm{max}$. Докажите, что множество оптимальных решений выпукло.

# Рассмотрим множество оптимальных решений задачи линейного программирования $x \ge 0$, $Ax \le b$, $c^Tx \to \mathrm{max}$. Пусть количество переменных $n$, количество неравенств $m$, пусть $rank(A)=n$. Будем называть вершиной точку $\tilde x$, для которой существует $n$ строк матрицы $A$, которые являются линейно независимыми, такую что если составить их них матрицу $\tilde A$ и соответственно вектор $\tilde b$, то выполнено $\tilde A\tilde x=\tilde b$. Докажите, что оптимальное решение, если оно существует, является вершиной.

# Рассмотрим модификацию задачи линейного программирования, где нет ограничения $x \ge 0$. То есть есть лишь система линейных неравенств $Ax \le b$. Как может выглядеть множество решений такой системы? В чем отличие от решения задачи в канонической постановке?

# Сведите задачу проверки пустоты множества решений системы неравенств $Ax \le b$ к задаче линейного программирования.

# Приведите пример задачи линейного программирования с двумя переменными, у которой конечное количество решений, но решение не единственное.

# Приведите пример задачи линейного программирования с двумя переменными, у которой бесконечное количество решений.