11
правок
Изменения
Нет описания правки
Расмотренные ранее AdaBoost и LogitBoost плохо работают при наличии шума в данных, что может приводить к переобучению. На каждой итерации бустинга объектам присваиваются веса, и большой вес у объекта показывает, что алгоритм плохо отработал на нем. Это может быть индикатором того, что этот объект шумовой. Тогда, если "откидывать" объекты с большим весом при работе алгоритма, на итоговый классификатор будут влиять незашумленные объекты. Из-за этого итоговая функция ошибки может улучшиться.
Пусть дана обучающая выборка <tex>T</tex> длины <tex>m: \; T = (x_1, y_1) \ldots (x_m, y_m), \; x_i \in X, y_i \in Y = \{-1,+1\}</tex>. Мы можем задать время, которое будет работать алгоритм бустинга {{---}} $c$. Чем больше это время, тем дольше будет работать алгоритм, а значит тем меньше данных он будет считать зашумленными и "откидывать". Каждая итерация занимает $t_i$ времени, и мы считаем, сколько осталось работать времени {{---}} $s$.
Можно связать время работы алгоритма $c$ и итоговую ошибку:<center><tex>\epsilon = 1 - erf(\sqrt c)</tex></center>где $erf$ {{---}} функция ошибок<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%BE%D1%88%D0%B8%D0%B1%D0%BE%D0%BA Функция ошибок]</ref>. Из этого следует, что мы можем получить любую желаемую итоговую ошибку, передав соответствующий параметр $c$ (это можно вычислить при помощи обратной функции ошибок). Для всех объектов обучающий выборки хранятся веса на каждой итерации $r_i(x, y)$. Изначально они все равны 0. Чтобы избежать вырожденные случаи, введем константу $\nu > 0$. Основная идея BrownBoost {{---}} на каждой итерации у найденного слабого классификатора есть вес <tex> \alpha_i </tex> и количество прошедшего в течение итерации времени <tex> t_i </tex> , и эти величины напрямую связаны между собой. Они задаются системой Чтобы их найти, надо решить систему нелинейных уравнений вида:. Она задана дифференциальным уравнением<center><tex>[*]: \; \frac{dt}{d \alpha} = \gamma = \frac{\sum\limits_{(x,y) \in T}exp(-\frac{1}{c}(r_i(x, y)+\alpha h_i(x)y +s_is-t)^2)h_i(x)y}{\sum\limits_{(x,y) \in T}exp(-\frac{1}{c}(r_i(x, y)+\alpha h_i(x)y +s_is-t)^2)}</tex></center>Граничные условияи граничными условиями: <tex>t = 0, \; \alpha = 0</tex>.Параметр t Решением системы будет считаться пара чисел <tex>\alpha_i, t_i: \; t_i = s</tex> или $\gamma_i \leq \nu$. Решить данную систему можно методом Ньютона<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%9D%D1%8C%D1%8E%D1%82%D0%BE%D0%BD%D0%B0 Метод Ньютона]</ref>, как это было предложено автором BrownBoost'а Йоав Фройндом<ref>[https://cseweb.ucsd.edu/~yfreund/papers/brownboost.pdf Yoav Freund {{--- аналогия к параметру T из AdaBoost}} An adaptive version of the boost by majority algorithm]</ref>.
=== Алгоритм ===
'''function''' BrownBoost($T$, $c$):
'''do:'''
<tex>W_i(x, y) = e^{\frac{-(r_i(x, y)+s)^2/}{c}}</tex> <font color=green>//Задаем вес для каждого объекта</font> Вызываем слабый базовый алгоритм и находим классификатор <tex>h_i: \; \sum_{(x, y)} W_i(x, y)h_i(x)y = \gamma_i gamma > 0</tex> <font color=green>//<tex>h_i: \; X \rightarrow Y</tex></font> <tex>\alpha_i, t_i \leftarrow</tex> Решение системы уравнений [1*]
<tex>r_{i+1}(x, y) = r_i(x, y) + \alpha_i h_i(x) y</tex> <font color=green>//Обновляем веса каждого объекта</font>
s = s - t <font color=green>//Обновляем оставшееся время</font>
'''while''' <tex>s > 0</tex>
'''return''' <tex>H(x) = \textrm{sign}\left(\sum\limits_{i=1} \alpha_i h_i(x)\right)</tex> <font color=green>//$H(x)$ {{---}} результирующий классификатор</font>
== Примечания==
<references />
