Изменения
Нет описания правки
{{Определение
|definition = Пусть <tex>M =\; \langle X,I \rangle</tex> {{--- }} [[Определение матроида|матроид]]. Тогда '''замыкание ''' (англ. ''closure)''' ) множества <tex>A \subset subseteq X</tex> {{--- }} это множество <tex>\langle A \rangle \subset subseteq X</tex> такое, что <tex>\langle A \rangle = A \cup \{x\in X \; |\; \exists H \subseteq A :\ H \in I ,\; H \cup x \notin I \}</tex>}} <!---ну хз кто догадался так записать, я исправляю такое без разрешения.)))--->Другими словами, замыкание множества <tex> A </tex> {{---}} это все элементы из <tex> A, </tex> а также такие <tex> x \in X, </tex> которые при добавлении к некоторым независимым подмножествам <tex> A </tex> не оставляют их независимыми. {{Лемма|statement = Пусть <tex>M =\; \langle X,I \rangle</tex> {{---}} матроид, <tex>A \subseteq X</tex>. Тогда <tex>r(A) = r(\langle A \rangle),</tex> где <tex>r</tex> {{---}} [[Ранговая функция, полумодулярность|ранг]].|proof =Пусть существуют множества <tex>B, D \in I:\ B \subset subseteq A,\ D \subseteq \langle A \rangle,\ |B| = r(A) < r(\langle A \rangle) = |D|.</tex> Тогда по [[Определение матроида | 3-ей аксиоме]] <tex>\exists p \in D \setminus B : \ B \cup p \in I .</tex> Так как <tex>B</tex> {{---}} максимальное независимое множество из <tex> A </tex>,то <tex>p \; notin A,</tex> то есть <tex> p \in \langle A \rangle \setminus A. </tex> Согласно определению замыкания возьмём максимальное по мощности множество <tex>H \subseteq A:\ H \in I,\ H\cup p \notin I.</tex> Поскольку <tex> |H| \leqslant |B| < |B \cup p|,</tex> то по аксиоме замены существует <tex>q \in (B \cup p)\setminus H :\ H \cup q \in I.</tex> Если <tex>q \in B ,</tex> то <tex>(H \cup q) \subseteq A,\ </tex> но <tex> (H \cup q) \cup p \notin I </tex> в силу <tex> H \cup x p \notin I}</tex>(противоречие с максимальностью множества <tex>H</tex>). Если <tex>q = p,</tex> то <tex>(H \cup p) \in I</tex> (противоречит выбору множества <tex>H</tex>).
}}
{{Определение
|definition = Пусть <tex>M =\; \langle X,I \rangle</tex> {{---}} [[Определение матроида|матроид]]. Тогда '''замыкание''' (англ. ''closure'') множества <tex>A \subseteq X</tex> {{---}} это множество <tex>\langle A \rangle \subseteq X</tex> такое, что <tex>\langle A \rangle = \{ x \in X \; |\; r(A \cup x) = r(A) \}</tex>, где <tex>r: 2^X \to \mathbb{N}</tex> - [[Ранговая_функция,_полумодулярность|ранговая функция]]
}}
{{Лемма
|statement = Данное определение эквивалентно предыдущему
|proof =
Пусть <tex>\langle A \rangle_1</tex> {{---}} замыкание <tex>A</tex> в смысле первого определения, <tex>\langle A \rangle_2</tex> {{---}} замыкание <tex>A</tex> в смысле второго определения.<br>
Покажем, что <tex>\langle A \rangle_1 = \langle A \rangle_2</tex>
# <tex>\langle A \rangle_1 \subseteq \langle A \rangle_2</tex> <br> По предыдущей лемме, <tex>r(A) = r(\langle A \rangle_1)</tex>, а значит, <tex>\forall a \in \langle A \rangle_1 : r(A \cup a) = r(A)</tex>, а значит, <tex>a \in \langle A \rangle_2</tex>. <br> В силу произвольности <tex>a</tex>, <tex>\langle A \rangle_1 \subseteq \langle A \rangle_2</tex>.
# <tex>\langle A \rangle_2 \subseteq \langle A \rangle_1</tex> <br> Рассмотрим <tex>a \in \langle A \rangle_2 : r(A \cup a) = r(A)</tex>. Возьмем <tex>B \subseteq A, \; B \in I</tex> {{---}} наибольшее независимое подмножество <tex>A</tex>. Тогда <tex>B \cup a \notin I</tex>, так как иначе <tex>r(A \cup e) = |B \cup e| > |B| = r(A)</tex>. <br> Следовательно, <tex>b \in \langle A \rangle_1</tex>, и в силу произвольности <tex>b</tex>, <tex>\langle A \rangle_2 \subseteq \langle A \rangle_1</tex>
}}
{{Теорема
|id = theorem
|statement = Оператор замыкания для матроидов обладает следующими свойствами: