245
правок
Изменения
Нет описания правки
# Докажите, что $(1+s)^\alpha(1+s)^\beta=(1+s)^{\alpha+\beta}$ для рациональных $\alpha$ и $\beta$.
# Докажите, что $(1+s)^\alpha(1+s)^\beta=(1+s)^{\alpha+\beta}$.
# Найдите производящую функцию для чисел ""трибоначчи"" $f_0=f_1=f_2=1$, $f_n = f_{n-1}+f_{n-2}+f_{n-3}$.
# Найдите производящую функцию для последовательности, заданной рекуррентностью $f_0=f_1=f_2=1$, $f_n = f_{n-1}-2f_{n-3}$.
# Производящая функция называется рациональной, если она представима в виде отношения двух многочленов. Для производящих функций каждой из следующих последовательностей выясните, является ли она рациональной, если да, приведите ее представление в таком виде. Последовательность $1, -2, 3, -4, 5, \ldots$.
# Последовательность $0, 1, 8, 27, 64, 125, \ldots, k^3,\ldots$
# Последовательность $1, 1, 4, 9, 25, \ldots, f_k^2,\ldots$ ($f_i$ --- числа Фибоначчи).
# Последовательность $1, 1, 2, 6, \ldots, n!, \ldots$.
# Несложно заметить, что производящая функция последовательности $a_n = n^m$ будет иметь вид $\frac {P_m(s)}{(1-s)^{m+1}}$. Выведите рекуррентное соотношение для коэффициентов многочленов $P_{m, k}$.
# Оказывается, что коэффициенты $P_{m,k}$ также являются количеством некоторых комбинаторных объектов. Каких?
# Пользуясь производящей функцией для чисел Фибоначчи, докажите утверждение, что $f_0+f_1+\ldots+f_n=f_{n+2}-1$.
# Пользуясь производящей функцией для чисел Фибоначчи, докажите утверждение, что $f_0+f_2+\ldots+f_{2n}=f_{2n+1}$.
# Пользуясь производящей функцией для чисел Фибоначчи, докажите утверждение, что $f_1+f_3+\ldots+f_{2n-1}=f_{2n}-1$.
# Пользуясь производящей функцией для чисел Фибоначчи, докажите утверждение, что $f_0^2+f_1^2+f_2^2+\ldots+f_n^2=f_nf_{n+1}$.
# Найдите производящую функцию для строк над алфавитом $\{0, 1\}$, не содержащих три нуля подряд.
# Найдите производящую функцию для строк над алфавитом $\{0, 1\}$, не содержащих подстроки 010.
# Найдите производящую функцию для строк над алфавитом $\{0, 1\}$, не содержащих подстроки 011.
# Обозначим за $a_n$ количество способов разменять $n$ рублей монетами по $1$, $2$ и $5$ рублей (порядок монет важен). Постройте производящую функцию для $a_n$.
# То же самое, что в предыдущем задании, но порядок монет не важен.
