244
правки
Изменения
Нет описания правки
# Найдите ЭПФ для чисел Эйлера I рода
# Найдите ЭПФ для чисел Эйлера II рода
# В этом и следующих заданиях нужно выразить ПФД в замкнутом виде, возможно, используя $\zeta(s)$. Обозначим как $\sigma_k(n)$ сумму $d^k$, где $d$ пробегает все делители $n$ . Найдите ПФД для $\sigma_1(n)$
# Найдите ПФД для $\sigma_k(n)$.
# Найдите ПФД для последовательности $a_n$, где $a_n = 1$ если $n$ является квадратом целого числа, и $a_n = 0$ иначе.
# Найдите ПФД для последовательности $a_n$, где $a_n = 1$ если $n$ свободно от квадратов, и $a_n = 0$ иначе.
# Зная ПФД для последовательности $a_n$, найдите ПФД для последовательности $a_n \cdot \ln n$.
# Функция Мангольдта $\Lambda_n$ равна $\ln p$, если $n = p^k$ для некоторого $k \ge 1$, и 0 иначе. Найдите ПФД для последовательности $\Lambda_n$.
# Докажите, что если $f(n)$ - мультипликативная функция, то $g(n) = \sum\limits_{d | n} f(d)$ тоже мультипликативна.
# Докажите, что свертка Дирихле двух мультипликативных функций мультипликативна.
# Докажите, что обратная по Дирихле функция к мультипликативной функции мультипликативна.
# Используя ПФД, докажите, что $\sum\limits_{d | n}\varphi(d) = n$
# Используя ПФД, докажите, что $\sum\limits_{d | n}\sigma_1(d)\varphi(n/d) = n \sigma_0(n)$.
# Назовем функцию полностью мультипликативной, если $f(ab) = f(a)f(b)$ для любых $a$ и $b$. Какие значения $f(n)$ достаточно задать, чтобы определить $f$ на всех положительных натуральных числах?
# Найдите ПФД для функции $\lambda(n) = (-1)^k$, где $k$ - количество простых делителей $n$ (с учетом кратности). Чему равна $\sum\limits_{d | n} \lambda(d)$?
# Рассмотрим строки из 0 и 1. Скажем, что строка $s$ периодичная, если ее можно представить как $k$ копий одной строки $p$: $s = p^k$ для некоторого $k > 1$. Выведите формулу для количества апериодичных строк для произвольного $n$. Указание: используйте формулу обращения Мебиуса.
# Найдите ПФД для последовательности $a_n = $ количество упорядоченных разбиений числа $n$ на (не обязательно простые) $k$ множителей, множитель 1 разрешен.
# Найдите ПФД для последовательности $a_n = $ количество упорядоченных разбиений числа $n$ на $\ge 0$ (не обязательно простых) множителей, множитель 1 запрещен.
# Найдите ПФД для последовательности $a_n = 2^{\omega(n)}$, где $\omega(n)$ - количество различных простых делителей $n$.
# Найдите ПФД для последовательности $a_n = 3^{\omega(n)}$, где $\omega(n)$ - количество различных простых делителей $n$.
