21
правка
Изменения
Нет описания правки
# Сохраняется ли вероятность из предыдущего задания, если шары после вытаскивания возвращаются в урну? Если нет, то можно ли получить аналогичную оценку?
# Нижняя оценка на сумму длин путей. Докажите, что можно построить граф, в котором $\Omega(n^2)$ пар вершин, расстояние между которыми $\Omega(n)$.
# Дерево Кинг. Дано взвешенное дерево $T$. Запустим на дереве $T$ алгоритм Борувки, когда множество вершин $S$ объединяется в новую вершину $s$ для каждой вершины из $u$ добавим ребро из $u$ в $s$ с весом, равным минимальному весу ребра, инцидентного $u$ на этом шаге (того ребра, которое выбирает алгоритм Борувки). Докажите, что задача максимума на пути между листьями в полученном дереве эквивалентна задаче максимума на пути в исходном дереве $T$.
# Рассмотрим ветвящееся дерево (у каждой внутренней вершины хотя бы два сына, все листья на одном уровне), пусть в нем $n$ вершин. Пусть есть $m$ запросов на пары листьев, для которых необходимо найти максимальное ребро на пути. Разобьем каждый запрос на два запроса на вертикальном пути до $LCA$ этих листьев, таким образом имеем $2m$ вертикальных путей. Для вершины $v$ обозначим как $A(v)$ множество вертикальных путей, проходящих через $v$. Обозначим как $D_i$ множество вершин на расстоянии $i$ от корня, как $d_i$ число вершин на расстоянии $i$ от корня ($d_i=|D_i|$). Докажите, что $\sum\limits_{u\in D_i}\lceil\log(1+|A(u)|)\rceil<\sum\limits_{u\in D_i}\left(1+\log(1+|A(u)|)\right)\le d_i+d_i \log\frac{d_i+2m}{d_i}$.
# В условиях предыдущей задачи докажите, что $\sum\limits_{i\ge 0}\left(d_i + d_i\log\frac{d_i+2m}{d_i}\right)\le n+n\log\frac{n+2m}{n}+2n$.
# Докажите, что $\sum\limits_{u}\lceil\log(1+|A(u)|)\rceil = O(n + m)$.
# Готовимся к алгоритму линейной верификации MST. Введем операцию на множествах целых чисел: $A \downarrow B = \{b \in B | \exists a \in A : a < b \mbox{ and there is no } b′ \in B \mbox{ with } a < b′ < b\}$. Докажите, что $A\downarrow B \subset B$, $|A \downarrow B| \le |A|$, $(A\cup B)\downarrow C = (A \downarrow C) \cup (B \downarrow C)$, $A \downarrow (B \cup C) \subset (A \downarrow B) \cup (A \downarrow C)$.
# Докажите, что если $A \downarrow B = \varnothing$, то $A \downarrow C = A \downarrow (C \setminus B)$.
# Докажите, что если $A \downarrow B \subset C \subset B$, то $A \downarrow B = A \downarrow C$.
# Докажите, что если $\sup(B \cap C) < \inf(B \setminus C)$, то $A \downarrow (B \cap C) = (A \downarrow B) \cap C$ (будем считать, что $\sup\varnothing = -\infty$, $\inf\varnothing = +\infty$).
# Докажите, что если $A \subset B$, то $A \downarrow C = A \downarrow (B \downarrow C)$.
# Будем хранить множество чисел от 0 до $w-1$, где $w$ - размер машинного слова, как битовую маску. Докажите, что если $A$ задается маской $a$, а $B$ задается маской $b$, то $A \downarrow B$ задается маской $b\&(\sim(a|b){\verb!^!}(a+(a|\sim b)))$.
# Обозначим как $d(u)$ глубину вершины $u$. Обозначим как $w(v)$ вес ребра из $v$ в родителя. Обозначим как $p^j(u)$ вершину, которая получается из $u$ переходом $j$ раз к родителю. Обозначим как $M_v = \{j\,|\,1 \le j \le d(v): w(p^j(v)) > w(p^k(v)) \mbox{ for all } k = j + 1, \ldots, d(v)\}$. Пусть $u$ - предок $v$. Докажите, что максимальный вес ребра на пути из $u$ в $v$ находится на ребре в родителя из вершины $p^j(v)$, где $j$ - единственный элемент множества $\{d(u)\}\downarrow M_v$.
# Обозначим как $D_v = \{d(u) | \mbox{ there is a query path $uw$ that contains $v$}\}$. Пусть $S_v = D_v \downarrow M_v$. Докажите, что в условии предыдущей задачи $\{d(u)\}\downarrow M_v = \{d(u)\} \downarrow S_v$.
# Предложите алгоритм подсчета $D_v$ для всех вершин дерева за $O(n + m)$ (считайте, что битовые операции выполняются за $O(1)$.
