Изменения
Нет описания правки
<tex>sort(X)</tex> // сортируем элементы по возрастанию веса
<tex>B \leftarrow \emptyset</tex>
'''for''' <tex>i \leftarrow 0</tex> '''to''' <tex>\mid X \mid-1</tex> '''do''' '''if''' <tex>B \cup ArgOf(X[i]) \in I</tex> <tex>B \leftarrow B \cup ArgOf(X[i])</tex>Рассмотрим шаг алгоритма, когда мы пытаемся добавить элемент <tex>ArgOf(X[i])</tex>. Заметим, что если его можно добавить с сохранением независимости множества <tex>B</tex>, то это элемент минимального веса не из <tex>B</tex>, который можно добавить (при условии сохранения независимости <tex>B</tex> при добавлении). В самом деле, пусть <tex>ArgOf(X[j])</tex> — элемент минимального веса, который можно добавить к <tex>B</tex> с сохранением его независимости, тогда <tex>j<i</tex>. Но тогда он уже был бы добавлен на <tex>j</tex>-ом шаге алгоритма.
Понятно, что все базы имеют одинаковую мощность (иначе в меньшую можно было бы добавить элемент из большей по аксиоме матроидов, что противоречит определению базы). По [[Теорема Радо-Эдмондса (жадный алгоритм)|теореме Радо-Эдмондса]] множество минимального веса, имеющее мощность базы, (то есть база минимального веса) ищется последовательным добавлением в изначально пустое множество элементов минимального веса из <tex>X</tex> так, чтобы после каждого добавления множество оставалось независимым.
Алгоритм работает за <tex>O(\mid X \mid log(\mid X \mid))</tex>: . <tex>O(\mid X \mid log(\mid X \mid))</tex> — на сортировку массива весов элементов из <tex>X</tex> по возрастанию весов и <tex>O(\mid X \mid)</tex> шагов цикла, каждый из которых работает <tex>O(1)</tex> времени (если считать, что проверка множества на независимость происходит за <tex>O(1)</tex>).
}}
