1679
правок
Изменения
м
Нет описания правки
{{ Определение
| definition =
Функция <tex> f </tex> из A в B называется '''монотонной''', если <tex> \forall a_1, a_2 \in A : a_1 \le a_2 \Rightarrow f(a_1) \le f(a_2) </tex>
}}
Пусть <tex> f: A \rightarrow B </tex> - монотонная. Тогда <tex> \forall a_1, a_2 \in A: f(\min(a_1, a_2)) = \min(f(a_1), f(a_2)) </tex>.
| proof =
Не теряя общности, предположим что <tex> a_1 \le a_2 </tex>. Тогда, <tex> f(\min(a_1, a_2)) = f(a_1) </tex>. Также, по монотонности, <tex> f(a_1) \le f(a_2) </tex>. Тогда <tex> \min(f(a_1), f(a_2)) = f(a_1) </tex>. То есть, <tex> f(\min(a_1, a_2)) = \min(f(a_1), f(a_2)) = f(a_1) </tex>. Такие же рассуждения можно провести для случая <tex> a_2 < a_1 </tex>.
}}
То есть, в результате <tex> i </tex>-й элемент не зависит от порядка применения компаратора <tex> [i: j] </tex> и функции <tex> f </tex>. Те же рассуждения можно провести для всех других индексов, то есть <tex> [i: j]f(a) = f([i: j](a)) </tex>, и также для всех компараторов в сети, то есть лемма доказана.
}}
{{ Теорема
| statement = Если сеть компараторов сортирует все последовательности из нулей и единиц, то она сортирующая
| proof =
Рассмотрим сеть <tex> N </tex> , сортирующую в возрастающем порядке: <tex> a_0 \le a_1 \le \dots \le a_{n-1} </tex>.
Предположим, что есть последовательность <tex> a </tex>, которую сеть <tex> N </tex> не сортирует. Тогда после пропуска <tex> a </tex> через сеть <tex> N </tex>, получим последовательность b, в которой найдется индекс <tex> i </tex> такой, что <tex> b_i > b_{i + 1} </tex>.
Рассмотрим функцию <tex> f(x) =
\begin{cases}
0, x < b_i \\
1, x \ge b_i
\end{cases}
</tex> . Очевидно, она монотонная. Заметим, что <tex> f(b_i) = 1 </tex>, а <tex> f(b_{i + 1}) = 0 </tex>, то есть <tex> f(b) </tex>, или <tex> f(N(a)) </tex> - не отсортирована. Так как <tex> f </tex> и <tex> N </tex> коммутируют, <tex> N(f(a)) </tex> - также не отсортирована. Но по предположению теоремы, все последовательности из нулей и единиц сеть сортировать умеет, то есть такой последовательности <tex> a </tex> не найдется, то есть сеть компараторов является сортирующей.
}}
