Изменения
Нет описания правки
<wikitex>
== Степенные ряды ==
$ f(x) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n \qquad R > 0 \qquad (x_0 - R; x_0 + R) $.
$ \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x - x_0)^n $ - ряд Тейлора функции по степеням $ (x - x_0) $.
Сопоставим ряд с формулой Тейлора функции, которую можно писать для любого $ \forall n $.
$ f(x) = \sum\limits_{k = 0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x - x_0)^k + r_n(x) \Rightarrow $ ряд получается из формулы при $ n \to \infty $. Если $ r_n(x) \rightarrow 0 $ при $ n \rightarrow \infty $, то можно перейти к пределу.
Причина объясняется в поле $ \mathbb{C} $.
== Примеры разложения функций ==
Приведем классические разложения, некоторые обоснуем.
Рассмотрим $ y = e^x; \qquad (e^x)^{(p)} = e^x $
Рассмотрим $ f = ln(1 + x) $ и разложим ее в степенной ряд другим приемом.
$ (\ln(1 + x))' = \frac1{1 + x} = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} (-1)^n x^n, |x| < 1 $
Воспользуемся тем, что ряд можно почленно интегрировать
$ r_n(1) = \frac{(-1)^n n! (1 + \theta_n)^{-1 - n}}{(n + 1)!} $ , $ |r_n(1)| \le \frac1{n + 1} \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 $
Впервые разложение $\ln 2 $ было найдено Лейбницем. Для доказательства можно было применить тауберову теорему Харди + суммирование расходящихся рядов.
Установим классическую асимптотическую формулу Стирлинга для факториала.:{{Утверждение|statement=
$ n! = \sqrt{2 \pi n} {\left ( \frac ne \right )}^n e^{\frac{\theta_n}{12n}} $
Вычтем из первой формулы вторую:
$ \ln(\frac{1 + x}{1 - x}) = 2x + \frac{2x^3}3 + \frac{2x^5}5 + \dots $
$ x = \frac1{2n + 1} $ - допустимо, $ |x| < 1 $
$ \frac{1 + \frac1{2n + 1}}{1 - \frac1{2n + 1}} = \frac{n + 1}n $
$ \ln \frac{n + 1}n = 2 \left ( \frac1{2n + 1} + \frac13 {\left (\frac1{2n + 1} \right )}^3 + \dots \right ) = \frac1{n + \frac12} \left ( 1 + \frac13 {\left ( \frac1{2n + 1} \right )}^2 + \dots \right ) $
Ясно, что скобка больше единицы
$a^2 = 2 \pi \Rightarrow a = \sqrt{2 \pi} $
}}
Поступая аналогично, можно разложить тригонометрические функции sin и cos и обратить внимание на ограниченность $ \sin^{(n)} (x) \Rightarrow r_n(x) \to 0 \quad \forall x $.
