Изменения
Новая страница: «{{В разработке}}<br> {{Определение |definition= Пусть <tex>V_{r}(x)</tex> - шар в <tex>X, \quad \mathcal{F} : V_r(x) \to Y </tex>. <te…»
{{В разработке}}<br>
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>V_{r}(x)</tex> - шар в <tex>X, \quad \mathcal{F} : V_r(x) \to Y </tex>. <tex>\mathcal{F}</tex> - дифференцируема в точке <tex>x</tex>, если существует ограниченный линейный оператор <tex>\mathcal{A} : X \to Y</tex>, который может зависеть от <tex>x</tex>, такой что : <tex>\left || \Delta x \right|| < r, (x + \Delta x \in V_r(x))</tex>
<tex><\mathcal{F}(x + \Delta x) - \mathcal{F}(x) = \mathcal{A}(\Delta x) + \alpha(\Delta x) \left || \Delta x \right ||,
\alpha(\Delta x) \rightarrow 0</tex> при <tex>\Delta x \rightarrow 0</tex>
Тогда <tex>\mathcal{A}(x) = \mathcal{F}'(x)</tex> - производная Фреше отображения <tex>\mathcal{F}</tex> в точке <tex>x</tex>.
}}
Установим теорему, обобщающую классическое правило дифференцирования сложной функции :
{{Теорема
|statement=
Композиция дифференцируемых отображений, дифференцируема. Производная Фреше равна композиции производных Фреше отображений.
Пусть <tex>\mathcal{F} : V_r(x) \to Y, y = \mathcal{F}(x), \mathcal{G} : V_{r_1}(y) \to Z \quad \exists \mathcal{F}'(x), \mathcal{G}'(y), \mathcal{T} = \mathcal{G} \circ \mathcal{F}</tex>, тогда <tex>\exists \mathcal{T}'(x) = \mathcal{G}'(y)\mathcal{F}'(x)</tex>
|proof=
Доказательство копирует классическое доказательство, с заменой знака модуля на знак нормы.
}}
Из дифференцируемости следует непрерывность : <tex>\left|| \mathcal{F}'(x)\Delta x |\right| \le \left|| \mathcal{F}'(x)|\right| \left|| \Delta x |\right|</tex>
<tex>\left|| \mathcal{F}(x + \Delta x) - \mathcal{F}(x)|\right| \le \left|| \mathcal{F}'(x)|\right| \left||\Delta x |\right| + \left|| \alpha(\Delta x)|\right| \left||\Delta x|\right|</tex>
Правая часть этого выражения стремится к нулю, следовательно <tex>\mathcal{F}</tex> - непрерывна в <tex>x</tex>.
Найдем вид матрицы производной Фреше при <tex>\mathcal{F} : V_r(x) = \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m</tex>. Пусть <tex>\mathcal{F}'(\overline{x}) = A_{ij}</tex>
По условию <tex>\mathcal{F}(\overline{x} + \Delta\overline{x}) - \mathcal{F}(\overline{x}) = \mathcal{F}'(\overline{x})\Delta\overline{x} + \alpha(\Delta\overline{x})\left||\Delta\overline{x}|\right|</tex>
<tex>\mathcal{F} = (\mathcal{F}_1,...,\mathcal{F}_n), \quad \mathcal{F}_i(\overline{x} + \Delta\overline{x}) - \mathcal{F}_i(\overline{x}) = \sum\limits_{j = 1}^{n}A_{ij} \Delta x_j + \alpha_i(\Delta\overline{x})\left||\Delta\overline{x}|\right|</tex>
<tex> \Delta x = h \cdot e_j = (0, 0,..,h,..,0), \quad \forall h \in \mathbb{R}</tex>
<tex>\mathcal{F}_i(\overline{x} + h\overline{e_j}) - \mathcal{F}_i(\overline{x}) = A_{ij}h + \alpha_i(h\overline{e_j})|h|</tex>
<tex dpi = "140">\frac{\mathcal{F}_i(\overline{x} + h\overline{e_j}) - \mathcal{F}_i(x)}{h} = A_{ij} + \alpha_i(h e_j) \frac{|h|}{h}</tex>
У дроби справа будет предел, т.к <tex>\alpha_i(h e_j) \to 0</tex> при <tex>h \to 0</tex> и <tex>\left| \frac{|h|}{h} \right | \le 1</tex>
<tex dpi = "140">A_{ij} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{\mathcal{F}_i(\overline{x} + h\overline{e_j}) - \mathcal{F}_i(x)}{h}</tex>
{{Определение
|definition=
Данный предел называется частной производной первого порядка функции <tex>\mathcal{F}_i</tex> по переменной <tex>x_j</tex>.
<tex dpi = "140">A_{ij} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{\mathcal{F}_i(\overline{x} + h\overline{e_j}) - \mathcal{F}_i(x)}{h} = \frac{\delta \mathcal{F}_i}{\delta x_j}</tex>
}}
{{Определение
|definition=
Матрица, составленная из элементов <tex>A_{ij}</tex> - матрица Якоби отображения <tex>\mathcal{F}</tex>. \quad
<tex dpi = "140">
A = (\mathcal{F}'(x)) =
\begin{pmatrix}
\frac{\delta \mathcal{F}_1}{\delta x_1} & \frac{\delta \mathcal{F}_1}{\delta x_2} &...&\frac{\delta \mathcal{F}_1}{\delta x_n}\\
\frac{\delta \mathcal{F}_2}{\delta x_1} & \frac{\delta \mathcal{F}_2}{\delta x_2} &...&\frac{\delta \mathcal{F}_2}{\delta x_n}\\
...&...&...&...\\
\frac{\delta \mathcal{F}_m}{\delta x_1} & \frac{\delta \mathcal{F}_m}{\delta x_1} &...&\frac{\delta \mathcal{F}_m}{\delta x_n}
\end{pmatrix}
</tex>
}}
{{Определение
|definition=
При <tex>n = m</tex> определитель этой матрицы - якобиан.
}}
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>V_{r}(x)</tex> - шар в <tex>X, \quad \mathcal{F} : V_r(x) \to Y </tex>. <tex>\mathcal{F}</tex> - дифференцируема в точке <tex>x</tex>, если существует ограниченный линейный оператор <tex>\mathcal{A} : X \to Y</tex>, который может зависеть от <tex>x</tex>, такой что : <tex>\left || \Delta x \right|| < r, (x + \Delta x \in V_r(x))</tex>
<tex><\mathcal{F}(x + \Delta x) - \mathcal{F}(x) = \mathcal{A}(\Delta x) + \alpha(\Delta x) \left || \Delta x \right ||,
\alpha(\Delta x) \rightarrow 0</tex> при <tex>\Delta x \rightarrow 0</tex>
Тогда <tex>\mathcal{A}(x) = \mathcal{F}'(x)</tex> - производная Фреше отображения <tex>\mathcal{F}</tex> в точке <tex>x</tex>.
}}
Установим теорему, обобщающую классическое правило дифференцирования сложной функции :
{{Теорема
|statement=
Композиция дифференцируемых отображений, дифференцируема. Производная Фреше равна композиции производных Фреше отображений.
Пусть <tex>\mathcal{F} : V_r(x) \to Y, y = \mathcal{F}(x), \mathcal{G} : V_{r_1}(y) \to Z \quad \exists \mathcal{F}'(x), \mathcal{G}'(y), \mathcal{T} = \mathcal{G} \circ \mathcal{F}</tex>, тогда <tex>\exists \mathcal{T}'(x) = \mathcal{G}'(y)\mathcal{F}'(x)</tex>
|proof=
Доказательство копирует классическое доказательство, с заменой знака модуля на знак нормы.
}}
Из дифференцируемости следует непрерывность : <tex>\left|| \mathcal{F}'(x)\Delta x |\right| \le \left|| \mathcal{F}'(x)|\right| \left|| \Delta x |\right|</tex>
<tex>\left|| \mathcal{F}(x + \Delta x) - \mathcal{F}(x)|\right| \le \left|| \mathcal{F}'(x)|\right| \left||\Delta x |\right| + \left|| \alpha(\Delta x)|\right| \left||\Delta x|\right|</tex>
Правая часть этого выражения стремится к нулю, следовательно <tex>\mathcal{F}</tex> - непрерывна в <tex>x</tex>.
Найдем вид матрицы производной Фреше при <tex>\mathcal{F} : V_r(x) = \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m</tex>. Пусть <tex>\mathcal{F}'(\overline{x}) = A_{ij}</tex>
По условию <tex>\mathcal{F}(\overline{x} + \Delta\overline{x}) - \mathcal{F}(\overline{x}) = \mathcal{F}'(\overline{x})\Delta\overline{x} + \alpha(\Delta\overline{x})\left||\Delta\overline{x}|\right|</tex>
<tex>\mathcal{F} = (\mathcal{F}_1,...,\mathcal{F}_n), \quad \mathcal{F}_i(\overline{x} + \Delta\overline{x}) - \mathcal{F}_i(\overline{x}) = \sum\limits_{j = 1}^{n}A_{ij} \Delta x_j + \alpha_i(\Delta\overline{x})\left||\Delta\overline{x}|\right|</tex>
<tex> \Delta x = h \cdot e_j = (0, 0,..,h,..,0), \quad \forall h \in \mathbb{R}</tex>
<tex>\mathcal{F}_i(\overline{x} + h\overline{e_j}) - \mathcal{F}_i(\overline{x}) = A_{ij}h + \alpha_i(h\overline{e_j})|h|</tex>
<tex dpi = "140">\frac{\mathcal{F}_i(\overline{x} + h\overline{e_j}) - \mathcal{F}_i(x)}{h} = A_{ij} + \alpha_i(h e_j) \frac{|h|}{h}</tex>
У дроби справа будет предел, т.к <tex>\alpha_i(h e_j) \to 0</tex> при <tex>h \to 0</tex> и <tex>\left| \frac{|h|}{h} \right | \le 1</tex>
<tex dpi = "140">A_{ij} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{\mathcal{F}_i(\overline{x} + h\overline{e_j}) - \mathcal{F}_i(x)}{h}</tex>
{{Определение
|definition=
Данный предел называется частной производной первого порядка функции <tex>\mathcal{F}_i</tex> по переменной <tex>x_j</tex>.
<tex dpi = "140">A_{ij} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{\mathcal{F}_i(\overline{x} + h\overline{e_j}) - \mathcal{F}_i(x)}{h} = \frac{\delta \mathcal{F}_i}{\delta x_j}</tex>
}}
{{Определение
|definition=
Матрица, составленная из элементов <tex>A_{ij}</tex> - матрица Якоби отображения <tex>\mathcal{F}</tex>. \quad
<tex dpi = "140">
A = (\mathcal{F}'(x)) =
\begin{pmatrix}
\frac{\delta \mathcal{F}_1}{\delta x_1} & \frac{\delta \mathcal{F}_1}{\delta x_2} &...&\frac{\delta \mathcal{F}_1}{\delta x_n}\\
\frac{\delta \mathcal{F}_2}{\delta x_1} & \frac{\delta \mathcal{F}_2}{\delta x_2} &...&\frac{\delta \mathcal{F}_2}{\delta x_n}\\
...&...&...&...\\
\frac{\delta \mathcal{F}_m}{\delta x_1} & \frac{\delta \mathcal{F}_m}{\delta x_1} &...&\frac{\delta \mathcal{F}_m}{\delta x_n}
\end{pmatrix}
</tex>
}}
{{Определение
|definition=
При <tex>n = m</tex> определитель этой матрицы - якобиан.
}}
