1679
правок
Изменения
м
до гамма-функций
В теории интеграла Лебега будет доказана знаменитая теорема Рубини, связанная с этой тематикой и полностью решает этот вопрос(на языке интеграла Лебега).
=== Пункт третий. ===
Предположим непрерывность $ \frac{\partial f}{\partial y} $.
$ \int\limits_a^{\infty} \frac{\partial f}{\partial y} (x, y) dx $ - равномерно сходится, $ \int\limits_a^{\infty} f(x, c) dx $ - сходится.
Тогда: $ \left( \int\limits_a^{\infty} f(x, y) dx \right)' = \left( \int\limits_a^{\infty} \frac{\partial f}{\partial y} (x, y) dx \right) $ - тоже является формулой Лейбница.
Доказываем по аналогии с функциональными рядами.
$ g(y) = \int\limits_a^{\infty} \frac{\partial f}{\partial y} (x, y) dx $ - непрерывна в силу равномерной сходимости интеграла.
Значит, ее можно интегрировать.
$ \int\limits_c^y g(t) dt = \int\limits_c^y dt \int\limits_a^{\infty} \frac{\partial f}{\partial y} (x, t) dx $.
По предыдущему пункту, меняем порядок интегрирования.
$ \int\limits_c^y g(t) dt = \int\limits_a^{\infty} \int\limits_c^y \frac{\partial f}{\partial y} (x, t) dt $
$ \int\limits_c^y dx \frac{\partial f}{\partial y} (x, t) dt = f(x, y) - f(x, c) $ - по формуле Ньютона - Лейбница.
$ \int\limits_c^y g(t) dt = \int\limits_a^{\infty} (f(x, y) - f(x, c)) dx $
Интеграл для c - сходящийся, интеграл от разности - сходящийся, поэтому:
$ \int\limits_c^y g(t) dt = \int\limits_a^{\infty} f(x, y) dx - \int\limits_a^{\infty} f(x, c) dx $
Интеграл слева по теореме Барроу дифференциируем по верхнему пределу - продифференциируем обе части по y.
$ g(y) = \left( \int\limits_c^{\infty} g(t) dt \right)' = \left( \int\limits_a^{\infty} f(x, y) dx \right)' $, но $ g(y) = \int\limits_a^{\infty} \frac{\partial f}{\partial y} (x, y) dx $, следовательно, формула доказана.
== Бета- и гамма-функции Эйлера ==
</wikitex>
[[Категория: Математический анализ 1 курс]]
