1679
правок
Изменения
м
→Лемма Абеля
|author=Абель
|statement=
Пусть для некоторого <tex>x_0</tex> <tex>\sum\limits_{n = 0}^{\infty} a_n} x_0^n</tex> {{---}} сходится.
Тогда <tex>\forall x_1 : |x_1| < |x_0|</tex> ряд <tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty |a_n x_1^n|</tex>сходится.
|proof=
<tex>|a_n x_1^n| = |a_n x_0^n| \left(\frac{|x_1|}{|x_0|}\right)^n</tex>
Так как <tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n </tex> - сходится, то <tex> a_n x^n \to 0</tex> <tex>\Rightarrow</tex>
<tex>\exists N\ \forall n > N\ |a_n x_0^n| < 1</tex> <tex>\Rightarrow</tex>
<tex>|a_n x_1^n| < \left(\frac{|x_1|}{|x_0|}\right)^n</tex>, <tex>q = \frac{|x_1|}{|x_0|} < 1</tex>
