Изменения

Алгоритм был разработан Мануэлем Блюмом (Manuel Blum), Робертом Флойдом (Robert Floyd), Воганом Рональдом Праттом (Vaughan Ronald Pratt), Роном Ривестом (Ron Rivest), Робертом Тарьяном (Robert Tarjan).== Историческая справка Идея алгоритма==Этот алгоритм является модификацией алгоритма [[Поиск k-ой порядковой статистики|поиска k-ой порядковой статистики]]. Важное отличие заключается в том, что время работы алгоритма в наихудшем случае — <tex>O(n)</tex>, где <tex>n</tex> — количество элементов в множестве. Главная идея алгоритма заключается в том, чтобы ''гарантировать'' хорошее разбиение массива. Алгоритм выбирает такой рассекающий элемент, что количество чисел, которые меньше рассекающего элемента, не менее <tex>\dfrac{3n}{10}</tex>. Элементов же больших опорного элемента, также не менее <tex>\dfrac{3n}{10}</tex>. Благодаря этому алгоритм работает за линейное время в любом случае. == Описание алгоритма ==#Все <tex>n</tex> элементов входного массива разбиваются на группы по пять элементов, в последней группе будет <tex>n \bmod 5</tex> элементов. Эта группа может оказаться пустой при <tex>n</tex> кратным <tex>5</tex>.#Сначала сортируется каждая группа, затем из каждой группы выбирается медиана.#Путем рекурсивного вызова шага определяется медиана <tex>x</tex> из множества медиан (верхняя медиана в случае чётного количества), найденных на втором шаге. Найденный элемент массива <tex>x</tex> используется как рассекающий (за <tex>i</tex> обозначим его индекс).#Массив делится относительно рассекающего элемента <tex>x</tex>.#Если <tex>i = k</tex>, то возвращается значение <tex>x</tex>. Иначе запускается рекурсивно поиск элемента в одной из частей массива: <tex>k</tex>-ой статистики в левой части при <tex>i > k</tex> или <tex>(k - i - 1)</tex>-ой статистики в правой части при <tex>i < k</tex> === Пример работы алгоритма ===Рассмотрим работу алгоритма на массиве из <tex> 25 </tex> элементов, обозначенных кружками. На вход подается массив, разобьем элементы на группы по 5 элементов.Отсортируем элементы каждой группы и выберем медианы. Полученные медианы групп отмечены белыми кружками. [[Файл:поиск.png| 300px]]  Рекурсивно вызовемся от медиан групп и получим рассекающий элемент. На рисунке он обозначен белым кружком, внутри которого изображен символ <tex> x </tex>.

== Описание алгоритма ==[[Файл:поиск2.png| 300px]] Разбиваем наш массив на группы На рисунке обозначены закрашенные области, в левом верхнем и в правом нижнем углах. В эти области попали все элементы, которые точно меньше или больше рассекающего элемента, соответственно. В каждой области по 5 <tex> 8 </tex> элементов(на самом деле можно разбивать и на другое нечетное количество элементов больших 5). Затем , всего же в каждой группе находим средний элементмассиве <tex> 25 </tex>, то есть мы получили хорошее (медиануто есть соответствующее нашему утверждению)разбиение массива относительно опорного элемента, это можно сделать любой сортировкойтак как <tex> 8 > </tex> <tex>\dfrac{3 \cdot 25}{10}</tex>. И запустить рекурсивно данный Теперь докажем, что алгоритм от медиантакже хорошо выбирает опорный элемент и в общем случае. Тем самым мы найдем средний  Cначала определим нижнюю границу для количества элементов, превышающих по величине рассекающий элемент среди <tex>x</tex>. В общем случае как минимум половина медиан, то есть медиану найденных на втором шаге, больше или равны медианы медиан<tex>x</tex>. Эту медиана медиан выберем рассекающим элементом для поиска Таким образом, как минимум <tex>\dfrac{n}{10}</tex> групп содержат по <tex>3</tex> превышающих величину <tex>x</tex>, за исключение группы, в которой меньше <tex>5</tex> элементов и ещё одной группы, содержащей сам элемент <tex>kx</tex>-го элемента. Далее простыми обменами Таким образом получаем слева от рассекающего элемента числа меньшие него, а справа числа больше рассекающего элемента или равные емучто количество элементов больших <tex>x</tex>, не менее <tex>\dfrac{3n}{10}</tex>. И запускаем нашу функцию от той части массива в котором будет лежать  Проведя аналогичные рассуждения для элементов, которые меньше по величине, чем рассекающий элемент <tex>x</tex>, мы получим, что как минимум <tex>k\dfrac{3n}{10}</tex>-й меньше, чем элемент<tex>x</tex>. Теперь проведем анализ времени работы алгоритма. [[Файл:поиск5.png| 300px]]

Пусть <tex>T(n)</tex> — время работы алгоритма для <tex>n</tex> элементов, тогда она меньшеоно не больше, чем <tex>Cn</tex> - время сумма:# времени работы, на сортировку групп, и разбиение по рассекающему элементу. Плюс время сумма время , то есть <tex>Cn</tex>;# времени работы для поиска медианы медиан, то есть <tex>T</tex><tex>\left(\fracdfrac{n}{5}\right)</tex>. И кроме того время ;# времени работы для поиска <tex>k</tex>-го элемента в одной из двух частей массива, то есть <tex>T(ks)</tex>, где <tex>ks</tex>, — количество элементов в этой части, но . Но <tex>ks</tex> не превосходит <tex>\fracdfrac{7n}{10}</tex>, так как чисел меньше , меньших рассекающего элемента , не менее <tex>\fracdfrac{3n}{10}</tex> - — это <tex>\fracdfrac{n}{10}</tex> медиан меньшие , меньших медианы медиан , плюс не менее <tex>\fracdfrac{2n}{10}</tex> элементов меньшие , меньших этих медиан, с . С другой стороны , чисел , больших рассекающего элемента , так же не менее <tex>\fracdfrac{3n}{10}</tex>, следовательно <tex> s \leqslant </tex> <tex>\dfrac{7n}{10}</tex>, то есть в худшем случае <tex> k s = </tex> <tex>\fracdfrac{7n}{10}</tex>.

<tex>T(n) \le leqslant T</tex><tex>\left(\fracdfrac{n}{5}\right) </tex><tex> + T</tex><tex>\left(\fracdfrac{7n}{10}\right) </tex><tex> + Cn </tex> Покажем, что для всех <tex> n </tex> выполняется неравенство <tex>T(n) \leqslant 10Cn </tex>. Докажем по индукции:# Предположим, что наше неравенство <tex>T(n) \leqslant 10Cn </tex> выполняется при малых <tex> n </tex>, для некоторой достаточно большой константы <tex> C </tex>. # Тогда, по предположению индукции, <tex>T</tex><tex>\left(\dfrac{n}{5}\right)</tex> <tex> \leqslant 10C </tex><tex>\dfrac{n}{5}</tex> <tex> = 2Cn</tex> и <tex> T</tex><tex>\left(\dfrac{7n}{10}\right)</tex> <tex> \leqslant 10C </tex><tex>\dfrac{7n}{10}</tex> <tex> = 7Cn</tex>, тогда<tex>T(n) \leqslant T</tex><tex>\left(\dfrac{n}{5}\right)</tex> <tex> + T</tex><tex>\left(\dfrac{7n}{10}\right)</tex> <tex> + Cn = 2Cn + 7Cn + Cn = 10Cn \Rightarrow T(n) \leqslant 10Cn</tex> Так как <tex>T(n) \leqslant 10Cn </tex>, то время работы алгоритма <tex>O(n)</tex>

Покажем==Источники инфомации==* Кормен, что для всех <tex> n <Т., Лейзерсон, Ч., Ривест, Р., Штайн, К. '''Алгоритмы: построение и анализ''' {{---}} Вильямс, 2013. {{---}} 1328 с. {{---}} ISBN 978-5-8459-1794-2* [http:/tex> выполняется неравенство <tex>T(n) \le 10Cn </tex>en.wikipedia.org/wiki/BFPRT#Linear_general_selection_algorithm_-_Median_of_Medians_algorithm Wikipedia — Selection algorithm]