Изменения

Напомним, что , имея последовательность суммы вещественных чисел <tex>\{a_n\}</tex> , рядом мы называли символ <tex>\sum\limits_{i = 1}^\infty a_i</tex>. Ряды можно складывать и умножать на число. Далее, мы определили <tex>\sum\limits_{i = 1}^\infty a_i = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \sum\limits_{i = 1}^n a_i</tex>.

Мы показали, что , исходя их из этого равенства , для сходимости ряда частичных сумм необходимо условие <tex>a_n \rightarrow 0</tex>. Например, ряд <tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty (-1)^n</tex> не сходится (не имеет суммы в представленном выше смысле), поскольку <tex>(-1)^n</tex> предела не имеет.

Когда пишут <tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n = A(F)</tex>, то говорят, что ряд из <tex>a_i</tex> имеет сумму <tex>A</tex> по правилу суммирования <tex>F</tex>.

* # Линейность: если ряд из <tex>b_n\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n = A (F) </tex> имеет суммой , <tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty b_n = B</tex> по правилу <tex>(F) </tex>, то ряд из <tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty (\alpha a_n + \beta b_n</tex> должен по этому правилу иметь суммой <tex>) = \alpha A + \beta B(F) </tex>. * # Перманентность (регулярность): если <tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n = A</tex> (ряд имеет сумму в обычном смысле), то <tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n = A(F)</tex>. * # Эффективность: должны существовать ряды, которые суммируются с помощью <tex>F</tex>, но не имеют суммы в классическом смысле.

Ряд <tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n</tex> имеет сумму <tex>S</tex> по методу средних арифметических (обозначают аббревиатурой с.а.)Выясним, если <tex>S = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac 1{n + 1} \sum\limits_{k = 0}^n S_k</tex>. Как правило, используют обозначение <tex>\sigma_n = \frac 1{n + 1} \sum\limits_{k = 0}^n S_k</tex>что способ удовлетворяет перечисленным выше требованиям.

Выясним, что способ удовлетворяет перечисленным выше требованиям. Линейность этого способа очевидна (из арифметики пределов и свойствах свойств сложения конечного числа слагаемых).

Сумма расходящегося ряда <tex>\sum\limits_{k = 0}^\infty (-1)^k</tex> равна <tex>\frac 12</tex> по методу средних арифметических.

Аналогично рассматриваем , <tex>\sigma_{2m + 1}\longrightarrow \frac 12</tex>.

Поскольку в первом слагаемом бесконечно малая умножается на константу, то , начиная с <tex>N_1</tex> , выполняется <tex>\frac 1{n + 1} \sum\limits_{k = 0}^n |\alpha_k| < \varepsilon / 2</tex>. Но, поскольку <tex>\frac {n - N}{n + 1} < 1</tex>, то, начиная с <tex>N + N_1</tex> , выполняется <tex>\left | \frac 1{n + 1} \sum\limits_{k = 0}^n \alpha_k \right | < \varepsilon</tex>.

<tex>n\sigma_n sigma_{n - 1} = S_0 + S_1 + \ldots + S_{n - 1}</tex>

{{Утверждение|statement=Если ряд суммируется методом средних арифметических<tex dpi>(\exists \lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n)</tex>, то <tex>\frac {a_n}{n} \to 0</tex>. }} Однако, существуют ряды, у которых это требование не выполняется. Например: <tex> \sum\limits_{k = 0}^{\infty} (-1)^k(k + 1)</tex>. Было бы неплохо научиться что-нибудь делать хотя бы с некоторыми такими рядами. ==Метод Абеля==

{{Определение|definition=Пусть дан ряд <tex>\sum\limits_{n = 0}^{\infty}a_n</tex>, пусть и <tex> \forall t \in (0; 1) : \sum\limits_{n = 0}^{\infty}a_nt^n = f(t)</tex>(в классическом смысле). Полагаем Тогда этот ряд имеет сумму <tex> S </tex> по '''методу Абеля''', если <tex> S = \lim\limits_{t \to 1 - 0} f(t)</tex>(если таковой существует). {{Определение||definition = <tex>\sum\limits_{n = 0}^{\infty} = S(A)</tex>Естественно, где <tex>A</tex> {{---}} метод Абеляуказанный предел должен существовать.}}

<tex> \int\limits_0^x S_n(t)dt = \sum\limits_{k=0}^n \int\limits_0^x (-1)^k t^{k+1} dt = \sum\limits_{k=0}^n (-1)^k x^{k+1} = x \frac{1 - (-x)^{n+1}}{1 + x} </tex>

По теореме Барроу, <tex> S_n(t) = (t \frac {1 - (-t)^{n+1}} {1 + t})' = \frac{1 - (-t)^{n-+1}}{1 + t} + t * \frac{(n + 1)(-t)^n(1 + t) - (1 - (-t)^{n+1})}{(1 + t)^2} \xrightarrow[n \rightarrow \infty, 0 < t < 1]{} \frac 1{1 + t} - \frac t{(1 + t)^2} </tex>

<tex> 0 < t < 1 </tex>, Сходится ли {{Утверждение|statement=<tex> \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n t^n = S </tex>- сходится, тогда при условии, что <tex> 0 < t < 1 </tex> <tex> \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n = S t^n </tex> - тоже сходится?.|proof=Рассмотрим Убедимся в том, что <tex> \sum\limits_{n=k}^{k+p} a_n t^n \xrightarrow[k, p \to \infty]{} 0 </tex>. Если это правда, что то и ряд <tex> \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n t^n </tex> сходится по критерию Коши сходимости рядов.

\sum\limits_{n=k}^{k+p} S_n t^n - \sum\limits_{n=k-1}^{k+p-1} S_n t^{n+1} = S_{k+p} t^{k+p} - S_{k-1} t^{k-1} + \sum\limits_{n=k}^{k+p-1} S_n (t^n - t^{n+1}) \qquad (*) </tex>

<tex> = S_{k+p}t^{k+p}-S_{k-1} t^{k-1} + \sum\limits_{n=k}^{k+p-1} S_n (t^n - t^{n+1}) \qquad (*)</tex> <tex> t > 0 \Rightarrow t^n > t^{n+1} > 0, </tex>; <tex> M = \sup\limits_{n \in \mathbb Z} S_n < +\infty</tex> , так как ряд сходится в обычном смысле.

Теперь собственно перманентность, в <tex> \sum\limits_{k=0}^p a_n t^n = S_p t^p + \sum\limits_{j=0}^{p-1} S_j(t^j - t^{j+1}*) </tex>. Первое слагаемое стремится к 0: положим <tex>p \to \infty \Rightarrow S_p \to S, \\ f(t) = \sum\limits_{jk =0}^{\infty} S_j(t^j - t^{j+1}) </tex>:

Пусть <tex> \sum\limits_{k=0}^p a_n t^n = S_p t^p + \sum\limits_{j=0}^{\inftyp-1} S_j(t^j - t^{j+1}) = 1 </tex>. Первое слагаемое стремится к 0, тогда <tex> p \to \infty \Rightarrow S_p \to S , </tex> можно записать как , поэтому <tex> S f(t) = \sum\limits_{j=0}^{\infty} S S_j(t^j - t^{j+1}) </tex>

<tex> f\sum\limits_{j=0}^{\infty} (t^j - t^{j+1}) - = 1 </tex>, тогда <tex> S </tex> можно записать как <tex> S = \sum\limits_{j=0}^{\infty} (S_j - S)(t^j - t^{j+1}) </tex>

Определение предела для <tex> S_j: \f(t) - S = \ sum\forall \varepsilon > limits_{j=0: }^{\exists N: \forall n > N: |S_n infty} (S_j - S| \le \varepsilon )(t^{j} - t^{j+1}) </tex>

Определение предела для <tex> S_j: \forall \varepsilon > 0: \exists N: \forall n > N: |S_n - S| \le \varepsilon </tex> <tex> |f(t) - S| \le |\sum\limits_{j=0}^N (S_j - S)(t^j-t^{j+1})| + \sum\limits_{j=N+1}^{\infty} |S_j - S|(t^j-t^{j+1}) </tex>