Изменения

<tex>\mathcal{4}Delta f(x_0)=f(x)-f(x_0)</tex>

<tex>d^k f(x_0)=f^{(k)}(x_0)\mathcal{4}Delta x_k</tex>

<tex>\mathcal{4}Delta f(x_0,\mathcal{4}Delta x)=\sum \limits_{k=1}^n \frac {1}{k!} d^k f(x_0,\mathcal{4}Delta x)+\frac {1}{(n+1)!}d^{n+1}f(x_0+\theta\mathcal{4}Delta x,\mathcal{4}Delta x)</tex>

Такую форму записи можно перенести и на функцию из n переменных: <tex>x_0</tex> переходит в <tex>\overline {x_0}</tex>, а <tex>\mathcal{4}Delta x</tex> — в <tex>\mathcal{4}Delta \overline x</tex>

<tex>\frac \deltapartial{\delta partial x_j}</tex> — оператор, дифференцирующий функцию по <tex>x_j</tex>. Последовательное применение такого рода оператора даёт нам частные производные высших порядков. Пусть <tex>z = f(x,y)</tex>. Тогда <tex>\frac \deltapartial{\delta partial y} \left ( \frac {\delta partial f}{\delta partial x_j} \right )\stackrel{\mathrm{def}}{=}\frac {\deltapartial^2 f}{\delta partial x \delta partial y}</tex> — частная производная второго порядка функции <tex>f</tex>. Дифференцирование осуществляется по переменной в знаменателе, слева направо.В каком случае <tex>\frac {\deltapartial^2 f}{\delta partial x \delta partial y}=\frac {\deltapartial^2 f}{\delta partial y \delta partial x}</tex>?

Пусть в двумерном шаре у функции <tex>z = f(x,y)</tex> существуют смешанные производные второго порядка и каждая из них непрерывна в некоторой точке <tex>a</tex> этого шара. Тогда в <tex>\overline a</tex>: <tex>\frac {\deltapartial^2 f}{\delta partial x \delta partial y} (\overline a)=\frac {\deltapartial^2 f}{\delta partial y \delta partial x}(\overline a)</tex>

<tex>\mathcal{4}_x Delta_x f=f(x+\mathcal{4}Delta x,y)-f(x,y)</tex>

<tex>\mathcal{4}_y Delta_y f=f(x,y+\mathcal{4}Delta y)-f(x,y)</tex>

<tex>\mathcal{4}_x Delta_x \mathcal{4}_y Delta_y f=\mathcal{4}x Delta_x (f(x,y+\mathcal{4}Delta y)-f(x,y))=(f(x+\mathcal{4}Delta x,y+\mathcal{4}Delta y)-f(x+\mathcal{4}Delta x,y))-(f(x,y+\mathcal{4}Delta y)-f(x,y))</tex>

Если поменять местами операции, то мы получим то же самое (после раскрытия скобок). Цель доказательства — перезаписать это арифметическое равенство в частных производных второго порядка. Появятся дополнительные параметры, которые должны сократиться, и в итоге мы получим <tex>\mathcal{4}_x Delta_x \mathcal{4}_y Delta_y f=\mathcal{4}_y Delta_y \mathcal{4}_x Delta_x f</tex>.

Введём функцию <tex>g(t)=f(t,y+\mathcal{4}Delta y)-f(t,y)</tex>.

<tex>\mathcal{4}Delta _x \mathcal{4}Delta _y f=g(x+\mathcal{4}Delta x)-g(x)=g'(x+\theta \mathcal{4}Delta x)\mathcal{4}Delta x</tex>

<tex>g'(t)=\frac {\delta partial f}{\delta partial x}(t,y+\mathcal{4}Delta y)-\frac {\delta partial f}{\delta partial x}(t,y)</tex>

<tex>\mathcal{4}Delta _x \mathcal{4}Delta _y f=\left ( \frac {\delta partial f}{\delta partial x} ( x + \theta_1 \mathcal{4}Delta x,y+\mathcal{4}Delta y ) - \frac {\delta partial f}{\delta partial x}( x + \theta_1 \mathcal{4}Delta x,y) \right )\mathcal{4}Delta x</tex>

<tex>g(t)=\frac {\delta partial f}{\delta partial x}(x+\theta_1\mathcal{4}Delta x,t)</tex>

<tex>\mathcal{4}Delta _x \mathcal{4}Delta _y f=(g(y+\mathcal{4}Delta y)-g(y))\mathcal{4}Delta x=g'(y+\theta_2 \mathcal{4}Delta y) \mathcal{4}Delta x \mathcal{4}Delta y</tex>

<tex>g'(t)=\frac {\deltapartial^2 f}{\delta partial x \delta partial y}(x+\theta_1\mathcal{4}Delta x,t)</tex>

<tex>\mathcal{4}Delta _x \mathcal{4}Delta _y f=\frac {\deltapartial^2 f}{\delta partial x \delta partial y}(x+\theta_1\mathcal{4}Delta x,y+\theta_2 \mathcal{4}Delta y) \mathcal{4}Delta x \mathcal{4}Delta y</tex>

<tex>\mathcal{4}Delta _y \mathcal{4}Delta _x f=\frac {\deltapartial^2 f}{\delta partial y \delta partial x}(x+\theta_3\mathcal{4}Delta x,y+\theta_4 \mathcal{4}Delta y) \mathcal{4}Delta x \mathcal{4}Delta y</tex>

<tex>\frac {\deltapartial^2 f}{\delta partial x \delta partial y}(a+\theta_1\mathcal{4}Delta a,b+\theta_2 \mathcal{4}Delta b) \mathcal{4}Delta a \mathcal{4}Delta b=\frac {\deltapartial^2 f}{\delta partial b \delta partial a}(a+\theta_3\mathcal{4}Delta a,b+\theta_4 \mathcal{4}Delta b) \mathcal{4}Delta a \mathcal{4}Delta b~~\forall \mathcal{4}Delta a,\mathcal{4}Delta b.</tex> <tex>\theta_i \in (0,1)</tex>

В <tex>\overline a</tex> оба выражения непрерывны. Устремим <tex>\mathcal{4}Delta a,\mathcal{4}Delta b \to 0</tex> и по непрерывности в пределе приходим к нужной формуле.

Следствие: Если в некотором шаре функция многих переменных имеет частные производные до <tex>p</tex>-го порядка включительно, и каждая из них непрерывна, то результат дифференцирования от последовательности переменных не зависит, важно лишь число дифференцирований по каждой переменной: <tex>\frac {\deltapartial^{10} f}{\delta partial x^7 \delta partial y^3}=\frac {\deltapartial^{10} f}{\delta partial y^3 \delta partial x^7}</tex>, например.

<tex>d^{n+1}f(\overline x, \mathcal{4} Delta \overline x)</tex><tex>=d(d^n f (\overline x, \mathcal{4} Delta \overline x))</tex><br><tex>d^2 f=d\left( \frac {\delta partial f}{\delta partial x}(\overline x) \mathcal{4}Delta x-\frac {\delta partial f}{\delta partial y}(\overline x) \mathcal{4}Delta y\right)</tex><tex>=\frac{\deltapartial^2 f}{\delta partial x^2}(\overline x) \mathcal{4}Delta x^2+2\frac{\deltapartial^2f}{\delta partial x \delta partial y}(\overline x) \mathcal{4}Delta x\mathcal{4}Delta y+\frac{\deltapartial^2 f}{\delta partial y^2}(\overline x) \mathcal{4}Delta y^2.</tex> . Частные производные — непрерывны. Теперь пусть <tex>dx=\mathcal{4}Delta x</tex>, <tex>dy=\mathcal{4}Delta y</tex>: <tex>x=a+bt</tex>,<tex>dx=bdt</tex>

<tex>dg=g'(t)dt=\frac {\delta partial f}{\delta partial x}(a+bt)bdt+ \frac {\delta partial f}{\delta partial y}(c+dt)ddt</tex><tex>=\frac {\delta partial f}{\delta partial x}(a+bt)dx+ \frac {\delta partial f}{\delta partial y}(c+dt)dy=\frac{\delta partial f}{\delta partial x}</tex>

Рассмотрим пару <tex>(\overline a, \overline b)</tex>: <tex>\overline b - \overline a = \mathcal{4}Delta \overline a</tex>

<tex>g(t)=f(\overline a+t\mathcal{4}Delta \overline a)</tex>

<tex>g(1)-g(0)=f(\overline a+t\mathcal{4}Delta \overline a)-f(\overline a)</tex>

<tex>f(\overline a+t\mathcal{4}Delta \overline a)-f(\overline a)=\sum \limits_{k=1}^n \frac {d^{k}f(\overline a)}{k!}+\frac {d^{n+1}f(\overline a+\theta\mathcal{4}Delta \overline a)}{(n+1)!}</tex> — формула Тейлора для функции многих переменных. При <tex>n=1</tex>:

<tex>f(\overline a+t\mathcal{4}Delta \overline a)-f(\overline a)=\sum \limits_{j=1}^n\frac{\delta partial f}{\delta partial x_j}(\overline a)\mathcal{4}Delta \overline a+\frac 1 2 \sum \limits_{i,j=1}^n \frac {\deltapartial^2 f}{\delta partial x_i \delta partial x_j} (\overline a+\theta \mathcal{4}Delta \overline a)\mathcal{4}Delta a_i\mathcal{4}Delta a_j</tex><references/>[[Категория:Математический анализ 1 курс]]