Изменения

Считаем что <wikitextex>Считаем что $ \forall j : \frac{\partial f}{\partial x_j} \in C^0 $</tex>(непрерывная)

$ <tex>y = f(x_1, x_2, \dots, x_n) $ в $ V(\overline{a}) \subset R^n $</tex>

Если $ <tex>\| \Delta \overline{a} \| \le \delta</tex>, \quad <tex>\delta \approx 0 \Rightarrow f(\overline{a} + \Delta \overline{a}) \le f(\overline{a}) $ </tex>, то $ <tex>a $ </tex> {{--- }} точка локального максимума. Аналогично, определяется точка локального минимума.

|about = Аналог теоремы Ферма|statement =Существует Пусть <tex>f, дифференциируемая </tex> дифференцируема в точке локального экстремума <tex>a, которая - локальный экстремум, тогда $ </tex>. Тогда <tex>\forall j = 1..n $ все $ : \frac{\partial{f}}{\partial{x_j}} \overline{a} = 0 $</tex>|proof = $ <tex>f(\overline{a} + \Delta \overline{a}) - f(\overline{a}) </tex><tex>=\sum\limits_{j = 1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_j}(\overline{a}) \Delta a_j + o(\Delta \overline{a}) $</tex>

$ <tex>\Delta \overline{a} = h \overline{e_j} \quad $ : </tex> (сохраняет знак из-за экстремальности точки <tex>a</tex>) $ \quad <tex>\frac{f(\overline{a} + h \overline{e_j}) - f(\overline{a})}{h}</tex><tex>= \frac{\partial f}{\partial x_j}(\overline{a}) + \frac{o(h \overline{e_j})}{h} $ </tex> {{--- }} стремится к 0 при $ <tex>h $ </tex> стремящемся к 0.

Поэтому предел слева имеет разные знаки в зависимости от стремления к нулю(справа или слева), но по единственности предела: $ <tex>\frac{\partial f}{\partial x_j} (\overline{a}) = 0 $</tex>.

Пусть $ <tex>y = f(\overline{x}) $</tex>, исследуем на экстремум в $<tex>\overline{a} $</tex>.

$ <tex>\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x_1} \overline{a} = 0\\ \dots\\ \frac{\partial f}{\partial x_n} \overline{a} = 0 \end{cases} $</tex>

Решения {{-- -}} стационарные точки, включают в себя экстремальные. Если $ <tex>a $</tex> {{--- }} стационарна - , то по формуле Тейлора:$ <tex>f(\overline{a} + \Delta \overline{a}) - f(\overline{a})</tex><tex>= \frac12 \sum\limits_{i,j = 1}^n \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j } (\overline{a} + \theta \Delta \overline{a}) \Delta a_i \Delta a_j $</tex>

Записывая $ <tex>\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j } (\overline{a} + \theta \Delta \overline{a}) $ </tex> как $<tex>A_{ij} + \alpha_{ij} $</tex>, если $ <tex>A_{ij} = \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j } \overline{a} $</tex>:

$ <tex>\Delta f(\overline{a}, \Delta \overline{a})</tex><tex>= \frac12 \sum\limits_{i,j = 1}^{n} A_{ij} \Delta a_i \Delta a_j +\frac12 \sum\limits_{i,j = 1}^{n} \alpha_{ij} \Delta a_i \Delta a_j $</tex>

$ <tex>\xi_i = \frac{\Delta a_i}{\| \Delta \overline{a} \|} $</tex>, приходим к записи:$ <tex>\Delta f(\overline{a}, \Delta \overline{a})</tex><tex>= \frac12 {\| \Delta \overline{a} \|}^2 \left( \sum\limits_{i,j = 1}^{n} A_{ij} \Delta \xi_i \Delta \xi_j +\sum\limits_{i,j = 1}^{n} \alpha_{ij} \Delta \xi_i \Delta \xi_j \right) $ </tex>(*)

Обращаем внимание, что $ <tex>\sum\limits_{i = 1}^{n} \xi_i^2 = 1 $</tex>, то есть $ <tex>\xi = (\xi_1, \dots ,\xi_n) \in \delta_n $ </tex> {{--- }} ограниченное замкнутое множество, а, значит, компактно в $ <tex>R^n $</tex>.

Так как все частные производные непрерывны, то все $ <tex>\alpha_{ij} $ </tex> стремятся к 0, если $ <tex>\Delta a $ </tex> стремится к 0.

Форма является строго положительно определенной, если при $ <tex>\xi_i \ne 0 $ </tex> знак суммы $ <tex>A_{ij} \xi_i \xi_j > 0 $ </tex> (например, $ <tex>\xi_1^2 + \dots + \xi_n^2 $ </tex>).

Будем считать, что интересующая нас форма именно такая. Но на $ <tex>\delta_n $ </tex> она {{- --}} непрерывная функция, а координаты на сфере все не равны нулю.

По теореме Вейерштрасса форма принимает минимальное значение $ <tex>m > 0 $</tex>.

Вывод: $ <tex>\forall \overline{\xi} \in \delta_n \Rightarrow \sum\limits_{i,j = 1}^{n} \alpha_{ij} \xi_i \xi_j $</tex>, где $ <tex>\alpha_{ij} $ - </tex> стремится к 0, а $<tex>\xi_i, \xi_j $ - </tex> ограничены - приходим . Приходим к выводу что сумма стремится к нулю.

Значит: $ <tex>\exists \delta > 0 : \| \Delta \overline{a} \| < \delta \Rightarrow \sum \alpha_{ij} \xi_i \xi_j > -\frac12 m $</tex>

При таких $ <tex>\Delta \overline{a} $ : $ \sum A_{ij} \xi_i \xi_j + \sum \alpha_{ij} \xi_i \xi_j> \frac12 m > 0 $</tex>

$ <tex>\Delta f(\overline{a}, \Delta \overline{a}) > \frac14 m {\|\Delta \overline{a} \|}^2 > 0 \Rightarrow \overline{a} $ </tex> {{--- }} точка локального минимума.

В результате: если $ <tex>df(\overline{a}) = 0$ </tex>, а $ <tex>d^2 f(\overline{a}, \Delta \overline{a}) $, </tex> как квадратичная форма строго положительно определенная, то <tex>a </tex> {{- --}} точка локального минимума.

Аналогично, если квадратичеая квадратичная форма строго отрицательно определена, то <tex>a </tex> {{- --}} точка локального максимума.

Той же техникой показывают, что если $<tex>d^2f(\overline{a}, \Delta \overline{a})$ незнакоопредленная</tex> незнакоопределённая, то в точке <tex>a </tex> в ней локального экстремума нет.

Остается ситуация: $ <tex>d^2 f(\overline{a}, \Delta \overline{a}) \ge 0 $ </tex> или $ <tex>\le 0 $ </tex> (нестрого знакоопределеннаязнакоопределённая) {{--- }} тогда проблема требует дополнительного исследования.