1679
правок
Изменения
м
→Пространство последовательностей
{{Определение
|definition=
Ряд <tex> \sum\limits_{k = 1}^{\infty} x_k </tex> является '''ортогональным''', если <tex> \forall n \ne m \Rightarrow (e_nx_n, e_mx_m) = 0 </tex>.
}}
В частности, так как <tex> l_1, \dots, l_n, \dots </tex> - ОНС в <tex> H </tex>(гильбертово), то <tex> \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \alpha_k e_k l_k </tex> {{---}} ортогональный ряд.
{{Теорема
При этом, если x - сумма ряда, то выполняется теорема Пифагора: <tex> \| x \|^2 = \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \| x_k \|^2 </tex>
|proof=
<tex> \delta_n s_n = \sum\limits_{k = 1}^n x_k </tex>.
Замечаем, что: <tex> { \left \| \sum\limits_{k = n}^{n + p} x_k \right \| } ^2 = \left( \sum\limits_{k = n}^{n + p} x_k, \sum\limits_{k = n}^{n + p} x_k \right) = \sum\limits_{k = n}^{n + p} \| x_k \|^2 </tex>. Отсюда, если ряд сходится, то <tex> \sum\limits_{k = n}^{n + p} x_k \to 0 </tex>, а по последней формуле, к нулю начнут стремиться <tex> \sum\limits_{k = n}^{n + p} \| x_k \|^2 </tex>, и по критерию Коши ряд сходится.
