168
правок
Изменения
Нет описания правки
== Вопрос №24. Гильбертовы пространства, экстремальное свойство ортонормированных систем==
== Вопрос №25. Ортогональные ряды в гильбертовых пространствах.==
{{Определение
|definition=
Ряд <tex> \sum\limits_{k = 1}^{\infty} x_k </tex> является '''ортогональным''', если <tex> \forall n \ne m \Rightarrow (x_n, x_m) = 0 </tex>.
}}
В частности, так как <tex> l_1, \dots, l_n, \dots </tex> - ОНС в <tex> H </tex>(гильбертово), то <tex> \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \alpha_k l_k </tex> {{---}} ортогональный ряд.
{{Теорема
|statement=
<tex>\sum\limits_{k = 1}^{\infty} x_k </tex> - сходящийся ортогональный ряд <tex> \Leftrightarrow \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \| x_k \|^2 < + \infty </tex>.
При этом, если x - сумма ряда, то выполняется теорема Пифагора: <tex> \| x \|^2 = \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \| x_k \|^2 </tex>
}}
== Вопрос №26. Принцип сжатия Банаха==
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>X</tex> {{---}} B-пространство. Пусть <tex>\overline V</tex> {{---}} замкнутый шар в <tex>X</tex>.<br>
<tex> \mathcal{T} : \overline V \to \overline V</tex> {{---}} '''сжатие''' на шаре <tex>V</tex>, если <tex>\exists q \in (0;1) \ \forall x',x'' \in \overline V</tex> <tex> : \| \mathcal{T}x''-\mathcal{T}x' \| \le q \|x''-x'\|</tex>.
}}
{{Теорема
|author=Банах
|statement=
У любого сжимающего отображения существует ровно одна неподвижная точка <tex>x^*=\mathcal{T}x^*</tex>.
}}
== Вопрос №27. Линейные операторы в НП: непрерывность и ограниченность==
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>X</tex>, <tex>Y</tex> — нормированные пространства, <tex>~\mathcal{A}\colon X \to Y</tex>. <tex>\mathcal{A}</tex> называется линейным оператором, если <tex>\mathcal{A} (\alpha x + \beta y ) = \alpha \mathcal{A} \left( x \right) + \beta \mathcal{A} \left( y \right), \forall \alpha, \beta \in \mathbb {R}, \forall x, y \in X</tex>
}}
{{Определение
|definition=
Л.о. называется ограниченным, если <tex>\exists m \in \mathbb {R} \ge 0: \forall x \in X \left \| \mathcal{A} \left( x \right) \right \| \le m \left \| x \right \|</tex>
}}
{{Определение
|definition=
Л.о. непрерывен в X, если <tex>\lim \limits_{\mathcal {4} x \to 0} \mathcal{A} \left( x + \mathcal{4}x \right) = \mathcal{A} \left( x \right) </tex>
}}
{{Теорема
|statement=
Линейный оператор непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен.
}}
