Изменения

<tex>\Delta \alpha, \Delta r \to 0 \Rightarrow \frac{\Delta S}{\Delta\alpha \Delta r} \to 0r</tex>

<tex>\forall\varepsilon > 0\ \exists \delta > 0 : \operatorname{diam} E_P < \delta \Rightarrow \left|\frac{|E_p|}{|E'_P|} - r \right| < \varepsilon, \forall P \subset \Pi</tex>

Рассмотрим квадрируемую фигуру <tex>E</tex>. <tex>E = \bigcup\limits_{j = 1}^p E_j</tex>;<tex>E_i \cap E_j = \varnothing, \forall i \ne j</tex>; <tex>|E| = \sum\limits_{j = 1}^p |E_j|</tex>

<tex>|E | = \iint\limits_{E'}rd\alpha dr + 0 = \iint\limits_{E'} rd\alpha dr</tex>

КАРТИНКА[Круг под действием преобразования переходит в прямоугольник.] 

{{TODO |t=разрыв тут }}== Временный разрыв Общий случай ===

Пусть $\begin{cases}x & = x(u, v)$, $\\y & = y(u, v)\\\end{cases}$, ; где $(x, y)$ {{---}} прямоугольные координаты, $(u, v)$ {{---}} криволиненыекриволинейные.

КАРТИНКА КАРТИНКА КАРТИНКА[в безобразии из предыдущей пары картинок рассматриваем элементарную клетку $E_{uv}$, зажатую между соседними линиями]

$<tex dpi =150>\frac{|E_{uv}|}{|E'_{uv}|} = \frac{|E_{uv}|}{\Delta u\Delta v}$</tex>

Эти попытки связаны с тем, что хочется понять, что в общем случае будет аналогом $R$ коэффициентом <tex>r</tex> в полярных координатах. <tex> K_u</tex> - касательные. $\overline K_u = (x_v'; y_v')$ {{---}} касательный вектор к линии уровня $l_u$ $\overline K_v = (x_u'; y_u')$ {{---}} касательный вектор к линии уровня $l_v$ $K_u\Delta v, K_v\Delta u$ - элементарные приращения, приблизительно образующие $E_{uv}$. Построим на них параллелограмм, его площадь: $P(u, v) = \begin{pmatrix}x_u' & y_u' \\x_v' & y_v' \\\end{pmatrix}$ $J(u, v) = det(P(u, v))$; $ S = |J(u, v)|\Delta u \Delta v$. Для $p \in E_p$, $\frac{|E_p|}{|E_p'|} \xrightarrow[diam E'_p \rightarrow 0]{}{|J(u, v)|}$, получившийся предел называется якобианом преобразования. В итоге получаем $|E| = \iint\limits_{E}dxdy = \iint\limits_{E'}|J(u, v)|dudv$ <Сюда можно впилить долгий монолог о сложности понятия площади поверхности>Собственно вот он:Анри Картан - плоскость - линейное многообразие(Подход снимает вопрос образа триангуляции) <tex>S \begin {cases}x &= x(u, v)\\y &= y(u, v)\\z &= z(u, v)\\\end {cases} </tex><tex>(u,v) \in E \subset \mathbb R</tex>Площадь <tex>S \stackrel{def}= \iint\limits_{E} \sqrt{(\frac{D(x; y)}{D(u;v)})^2+(\frac{D(x; z)}{D(u;v)})^2+(\frac{D(y; z)}{D(u;v)})}^2dudv=</tex><tex>=\iint\limits_{E'}|J(u, v)|dudv</tex>; где <tex>\frac{D(x,y)}{D(u,v)}=\begin {vmatrix}x_u' & x_v' \\y_u' & y_v' \\\end {vmatrix}</tex>

\end{cases}$; $E$ - квадрируемая фигура в $Oxy$, якобиан преобразования определен так же, как и ранее. Пусть $f: E \rightarrow \mathbb R$. Тогда выполняется $|E| = \iint\limits_{E}f(x, y)dxdy = \iint\limits_{E'}f(x(u, v), y(u, v))|J(u, v)|dudv $|proof=Если всё делать строго, мы утонем в некоторой дифференицальной геометрии. Будем всё делать нестрого. Покроем плоскость сетью координатных линий с малыми шагами, в результате $E$ будет разбиваться на части элементарными криволинейными параллелограммами. Перейдем к образу: КАРТИНКА КАРТИНКА[переход к образу, все так же, как и для фигуры Е ранее] Каждая прямоугольная клетка справа является образом элементарного криволинейного параллелограмма слева. $E$ - квадрируема, значит, сумма площадей параллелограммов(а в образе - прямоугольников) на границе будет сколь угодно малой при устремлении ранга разбиения к нулю. Значит, можно принебречь суммой этих групп слагаемых в соответствующих интегральных суммах. Рассмотрим кусочек интегральной суммы, $f(p_i)|E_i|$. Как мы ранее установили, $|E_i| = \iint\limits{E_i'}|J(u, v)|dudv$.

Пусть <tex>p_i=(x_i, y_i)</tex>,<tex>p_i'=(u_i,v_i)</tex>, <tex>\begin{cases}x_i & = x_i(u_i, v_i)\\y_i & = y_i(u_i, v_i)\\\end{cases}</tex>;<tex>p_i'</tex>-образ точки <tex>p_i</tex>/Если всё делать строгописать интегральные суммы для образа, мы утонем в некоторой дифференицальной геометрии.то текущее слагаемоеЖ

$f(x(u_i, v_i), y(u_i, v_i)) |J(u_i, v_i)|\Delta u_i \bar k_n = Delta v_i$. Сравним с 2 слагаемых: <tex>| f(x_i, y_i)||E_i| - f(x'_u(u_i, v_i), y(u_i, v_i)) |J(u_i, v_i)|\Delta u_i \Delta v_i | =</tex> <tex>= |f(x_i, y_i)| \iint \limits_{E_i'_v}|J(u, v)|dudv - |J(u_i, v_i)|\Delta u_i \Delta v_i | \le</tex> (так как $ \Delta u_i \Delta v_i = \iint\limits_{E_i'}dudv$.)Преобразование координат гладкое <tex> \Rightarrow </tex><tex>J</tex> - непрерывная функция; всё множество компактно <tex>\Rightarrow</tex> <tex>f</tex> равномерно непрерывна <tex>\Rightarrow </tex><tex>rang~ \tau < \delta, \forall E_i' ||J(u, v)|-|J(u_i, v_i)|| \le \varepsilon \Rightarrow </tex> $\le f(x_i, y_i) \iint\limits_{E_i'} \left| |J(u, v)| -|J(u_i, v_i)| \right|dudv \le$ <tex>\iint \limits_{E_i'}||J(u, v)| -|J(u_i, v_i)||\Delta u_i \Delta v_i | \le</tex> $\le \varepsilon |E_i'|$ Тогда для интеграла по всей $E$ имеем: $\left| \sum\limits_{i=1}^n f(p_i)|E_i| - \sum\limits_{i=1}^n f(x(u_i, v_i), y(u_i, v_i)) |J(u_i, v_i)|\Delta u_i \Delta v_i \right| \le $ $ \le \varepsilon \sum\limits_{i=1}^n |E'_i| = \varepsilon \sum\limits_{i=1} касательный вектор к ^n |E'| $l_n. Это выполняется для любого $ \varepsilon > 0$, значит в $пределе <tex>\iint\limits_{E}f(l_u x, y)dxdy = \cap l_viint\limits_{E'}f(x(u, v), y(u, v)$)|J(u, v)|dudv</tex>, а следовательно теорема доказана. }} В теории интеграла Лебега будет установлена более общая теорема(Фубини)