Класс NP

В теории сложности Класс NP — класс языков (задач), ответ на которые можно проверить за полиномиальное время.

Определение

Формальное определение класса NP через класс NTIME выглядит так:

NP=[math]\bigcup_{i=0}^{\infty}[/math] NTIME[math](in^i)=\bigcup_{i=0}^{\infty}\bigcup_{k=0}^{\infty}[/math] NTIME[math](in^k)[/math]

Класс [math]\Sigma_1[/math]

Альтернативным определением класса NP является определение на языке сертификатов.

Будем говорить, что [math]y[/math] является сертификатом принадлежности [math]x[/math] языку [math]L[/math], если существует полиномиальное отношение (верификатор) [math]R[/math], такое что [math]R(x,y)=1[/math] тогда и только тогда, когда [math]x[/math] принадлежит [math]L[/math].

Классом [math]\Sigma_1[/math] называется класс языков (задач) [math]L[/math], таких что для каждого из них существует полиномиальный верификатор [math]R[/math], а также полином [math]p[/math], такие что слово [math]x[/math] принадлежит языку [math]L[/math] тогда и только тогда, когда существует сертификат [math]y[/math], длина которого не превосходит заданного полинома [math]p[/math], и сертификат [math]y[/math] удовлетворяет верификатору [math]R[/math].

[math]\Sigma_1 = \{L|\exists R(x,y) \in P, p \in Poly | x \in L \Leftrightarrow \exists y, |y| \le p(x) | R(x,y)=1\}[/math]

Теорема о равенстве [math]\Sigma_1 [/math] и [math] NP[/math]

Формулировка

[math]\Sigma_1[/math] = NP

Доказательство

Построим доказательство равенства из доказательств двух взаимных включений.

[math]\Sigma_1[/math] ⊂ NP

Построим программу, работающую за полином (из свойств машины Тьюринга, возможно построить аналогичную машину Тьюринга, работающюю за полиномиальное время, возможно большее), которая будет проверять решение задачи, входящей в класс [math]\Sigma_1[/math]. Таким образом покажем вхождение класса [math]\Sigma_1[/math] в NP.

Вхождение доказано.

NP ⊂ [math]\Sigma_1[/math]

Пусть [math]L[/math] ∈ NP . Тогда существует НМТ [math]m[/math], распознающая [math]L[/math]. Построим сертификат [math]y[/math] как последовательность недетерминированных выборов машины [math]m[/math], приводящих к допуску слова. Верификатором сертификата [math]R[/math] выберем структуру, симулирующую НМТ, возвращающую 0 при ошибке выполнения или завершении работы в недопускающем состоянии, и 1, если работа НМТ завершилась корректно в допускающем состоянии. Таким образом, [math] L \in \Sigma_1 [/math], что и требовалось доказать.

Теорема доказана.

Примеры задач класса NP

• Задача BH1N.
• Задача о вершинном покрытии, клике и независимом множестве.
• Задача о удовлетворении булевой формулы, заданной в КНФ. SAT