Изменения

'''Алгоритм Фарака-Колтона, Бендера ''' (алгоритм Фарахангл. ''Farach-КолтонаColton, Бендера)'Bender'' ) — применяется для решения за <tex>\langle O(N),O(1) \rangle</tex> времени специального случая задачи <tex>\mathrm{RMQ }</tex> (поиск минимума на отрезке), в котором соседние элементы входной последовательности различаются на ±1<tex>\pm 1</tex>. Может быть использован также для [[Сведение задачи LCA к задаче RMQ|решения задачи <tex>\mathrm{LCA}</tex>]].

'''Вход:''' последовательность <tex>a_i</tex> длины {{Задача|definition = Дан массив <tex>A[1 \ldots N]</tex>целых чисел, соседние элементы которой которого отличаются на ±1.<brtex>\pm 1</tex>'''Выход:''' ответы на . Поступают онлайн запросы вида «позиция минимума на отрезке <tex>(l, r)</tex>, для каждого из которых требуется найти минимум среди элементов <tex>A[i:jl], A[l + 1], \ldots, A[r]</tex>».}}

Данный алгоритм основывается на методе решения задачи <tex>\mathrm{RMQ }</tex> с помощью [[Решение RMQ с помощью разреженной таблицы|разреженной таблицы (sparse table, ST)]] за <tex>\langle O(N \log N),O(1) \rangle</tex>. Чтобы избавиться от логарифма используется предподсчёт ответа для небольших подстрок входной последовательности. Разделим последовательность <tex>A_i</tex> на блоки длины <tex>K=\dfrac{1}{2}\log_2 N</tex>. Для каждого блока вычислим минимум на нём и определим <tex>B_i</tex> как позицию минимального элемента в <tex>i</tex>-ом блоке.  

Чтобы избавиться от логарифма используется предподсчёт ответа для небольших подстрок входной На новой последовательности. Разделим последовательность <tex>a_i</tex> на блоки длины <tex>\frac{\log_2 N}{2}B_i</tex>построим [[Решение RMQ с помощью разреженной таблицы|разреженную таблицу]]. Для каждого блока вычислим минимум на нём При этом размер разреженной таблицы и определим <tex>b_i</tex> как позицию минимального элемента в <tex>i</tex>-том блоке.время её построения будут равны:

На новой последовательности <tex>b_i\dfrac{N}{K}\log\dfrac{N}{K}=\bigg(\dfrac{2N}{\log N}\bigg)\log\bigg(\dfrac{2N}{\log N}\bigg)=\bigg(\dfrac{2N}{\log N}\bigg)\bigg(1+\log\bigg(\dfrac{N}{\log N}\bigg)\bigg)\leqslant \dfrac{2N}{\log N}</tex> построим [[Решение RMQ с помощью разреженной таблицы|разреженную таблицу]]. Теперь для ответа на запрос RMQ<tex>[i:j]+2N=O(N)</tex>, если <tex>i</tex> и <tex>j</tex> находятся в разных блоках, нам необходимо вычислить следующее:# минимум на отрезке от <tex>i</tex> до конца содержащего <tex>i</tex> блока;# минимум по всем блокам, находящимся между блоками, содержащими <tex>i</tex> и <tex>j</tex>;# минимум от начала блока, содержащего <tex>j</tex>, до <tex>j</tex>.Ответом на запрос будет позиция меньшего из эти трёх элементов.

Теперь для ответа на запрос <tex>\mathrm{RMQ}</tex><tex>[l:r]</tex>, если <tex>l</tex> и <tex>r</tex> находятся в разных блоках, нам необходимо вычислить следующее: * минимум на отрезке от <tex>l</tex> до конца блока, содержащего <tex>l</tex>;* минимум по всем блокам, находящимся между блоками, содержащими <tex>l</tex> и <tex>r</tex>;* минимум от начала блока, содержащего <tex>r</tex>, до <tex>r</tex>.Ответом на запрос будет позиция меньшего из этих трёх элементов. [[Файл:F-C_B_algo.png|500px|center|Части, из которых состоит ответ на запрос RMQ]] Второй элемент мы уже умеем находить за <tex>O(1)</tex> с помощью <tex>b_iB_i</tex> и STразреженной таблицы. Осталось научиться находить минимум по отрезку, границы которого не совпадают с границами блоков.

|statement=Если две последовательности <tex>x_i</tex> и <tex>y_i</tex> таковы, что все их элементы на соответствующих позициях различаются на одну и ту же константу (т.е. <tex>\forall k: x_k = y_k + C</tex>), то любой запрос <tex>\mathrm{RMQ }</tex> даст один и тот же ответ для обеих последовательностей.

|proof=Соседние элементы в блоках отличаются на ±1<tex>\pm 1</tex>. Первый элемент в нормализованном блоке всегда равен нулю. Таким образом, каждый нормализованный блок может быть представлен ±1<tex>\pm 1</tex>-вектором длины <tex>\bigg(\fracdfrac{\log_2 N1}{2}\log_2 N\bigg) - 1</tex>. Таких векторов <tex>2^{(\frac{1/}{2 \cdot } \log_2 N) - 1} = O(\sqrt N)</tex>.

Осталось создать <tex>O(\sqrt N)</tex> таблиц — {{---}} по одной для каждого типа блока. В такую таблицу необходимо занести предподсчитанные ответы на все возможные запросы минимума внутри блока соответствующего типа, коих которых <tex>\bigg(\fracdfrac{\log_2 N1}{2}\log_2 N\bigg)^2 = O(\log^2 N)</tex>. Для каждого блока в <tex>b_iB_i</tex> необходимо заранее вычислить его тип. Для этого нужно подобрать некоторую функцию из множества блоков в множество натуральных чисел, не вызывающую коллизий. Например, вектор из нулей и единиц, соответствующий типу блока, можно записать в целочисленный тип. Таким образом мы получили возможность отвечать на запрос минимума по любой части блока за <tex>O(1)</tex>, затратив на предподсчёт <tex>O(N)</tex> времени. === Псевдокод ===  '''function''' precalc(A: '''int[N]'''): block_size = log(N) / 2 <font color=green> // размеры блоков </font> K = <tex>\sqrt lceil</tex>N / block_size<tex>\rceil</tex> <font color=green> // количество блоков </font> <font color=green>// предподсчитаем позиции минимумов в каждом блоке</font> cur_block = -1 '''for''' i = 0 '''to''' K - 1 B[i] = -1 '''for''' i = 0 '''to''' N - 1 '''if''' i '''mod''' block_size == 0 cur_block++ '''if''' B[cur_block] = -1 '''or''' A[B[cur_block]] > A[i] B[cur_block] = i <font color=green>// построим Sparse table на массиве B</font> '''for''' i = 0 '''to''' K - 1 ST[i][0] = B[i] '''for''' j = 1 '''to''' log^2 (N) '''for''' i = 0 '''to''' K - 1 ind = (1 << (j - 1)) + i '''if''' ind &ge; K ST[i][j] = ST[i][j - 1] '''else if''' A[ST[i][j - 1]] > A[ST[ind][j - 1]] ST[i][j] = ST[ind][j - 1] '''else''' ST[i][j] = ST[i][j - 1] <font color=green>// Посчитаем тип для каждого блока</font> '''for''' i = 0 '''to''' K - 1 type[i] = 0 cur_block = 0 j = 0 i = 0 '''while''' i < N or j < block_size '''if''' j &ge; block_size j = 0 cur_block++ '''if''' j > 0 '''and''' (i &ge; N '''or''' A[i - 1] < A[i]) type[cur_block] += (1 << (j - 1)) i++ j++ <font color=green>// Осталось только для каждого блока предподсчитать позиции минимумов на всех подотрезках</font> '''for''' i = 0 '''to''' K - 1 '''for''' l = 0 '''to''' block_size - 1 '''for''' r = 0 '''to''' block_size - 1 block_min[i][l][r] = -1 '''for''' i = 0 '''to''' K - 1 t = type[i] '''if''' block_min[t][0][0] = -1 <font color=green>// если там записано, что-то отличное от -1, то значит, мы уже посчитали ответ для такого типа отрезков</font> '''for''' l = 0 '''to''' block_size - 1 block_min[t][l][l] = l '''for''' r = l + 1 '''to''' block_size - 1 block_min[t][l][r] = block_min[t][l][r - 1] '''if''' i * block_size + r &le; N'''and''' A[i * block_size + block_min[t][l][r]] > A[i * block_size + r] block_min[t][l][r] = r  '''function''' block_RMQ(block_number: '''int''', l: '''int''', r: '''int'''): '''int''' '''return''' block_min[type[block_number]][l][r] + block_number * block_size  '''function''' RMQ(l: '''int''', r: '''int'''): '''int''' bl = l / block_size br = r / block_size '''if''' bl = br <font color=green>// если оба индекса внутри одного блока</font> '''return''' A[block_RMQ(bl, l % block_size, r % block_size)] '''if''' bl + 1 < br <font color=green>// найдем минимум на блоках между крайними, если таковые есть</font> power = log(br - bl - 1) ansb = min(A[ST[bl + 1][power]], A[ST[br - (1 << power)][power]]) ansl = A[block_RMQ(bl, l % block_size, block_size - 1)] <font color=green>// найдем минимум на отрезке от l до конца блока, содержащего l</font> ansr = A[block_RMQ(br, 0, r % block_size)] <font color=green>// найдем минимум от начала блока, содержащего r, до r </texfont> времени. '''return''' min(ansb, min(ansl, ansr))

== Ссылки Источники информации==* Bender, M. A. Bender and M. , Farach-Colton, M. “The {{---}} The LCA Problem Revisited” Revisited. LATIN(2000), pages с. 88-94, 2000 [[Категория: Алгоритмы и структуры данных]][[Категория: Задача о наименьшем общем предке]]