68
правок
Изменения
Нет описания правки
Если из набора линейно-независимых векторов убрать некоторые, то этот набор не станет зависимым.
3) <tex>\mid | A \mid | < \mid | B \mid | \Rightarrow \mathcal {9} x \in B \setminus A, A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \in I</tex>
Пусть не так. Тогда <tex>\forall x \in B \setminus A</tex> множество векторов <tex>A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g}</tex> - линейно зависимо. Значит оно образует базис в пространстве векторов <tex>U</tex> "натянутом" на множество векторов <tex>A \cup B</tex>. Но тогда <tex>\mid | A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \mid | > \mid | B \mid | </tex>, так как мощность базиса больше мощности любого линейно-независимого множества, а <tex>B</tex> - линейно-независимо. Противоречие с условием. По условию <tex>\mid | A \mid | + 1 \leq \mid | B \mid | </tex>.
}}
Очевидно, что любой подграф леса, так же является лесом, а значит входит в <tex>I</tex> вследствие своей ацикличности.
3) <tex>\mid | A \mid | < \mid | B \mid | \Rightarrow \mathcal {9} x \in B \setminus A, A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \in I</tex>
В графе <tex>G_A = \langle V, A \rangle </tex> как минимум две компоненты связанности, иначе <tex>G_A</tex> являлся бы остовным деревом и не существовало бы ациклического множества с большей мощностью.
Допустим в <tex>B</tex> не существует ребра, соединяющего две различные компоненты связанности из <tex>G_A</tex>, значит любая компонента связанности из <tex>G_B</tex> целиком вершинно-входит в какую-либо компоненту из <tex>G_A</tex>. Рассмотрим любую компоненту связанности Q из <tex>G_A</tex>, у неё <tex>k</tex> вершин и <tex>k - 1</tex> рёбер. Теперь рассмотрим все компоненты связанности <tex>P_i</tex> из <tex>G_B</tex> вершинно-входящие в <tex>Q</tex>, пусть их <tex>m</tex> штук, тогда суммарное кол-во рёбер из равно <tex>k - m</tex> что не превосходит <tex>k - 1</tex> (кол-во рёбер в <tex>Q</tex>). Просуммируем неравенство по всем компонентам связанности из <tex>G_A</tex> и получим <tex>\mid | A \mid | \ge \mid | B \mid|</tex> что противоречит условию. Значит предположение не верно и в <tex>B</tex> существует искомое ребро <tex>x</tex> из разных компонент связанности <tex>G_B</tex>.
}}
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>G = \langle X, Y, E \rangle</tex> - двудольный граф. Тогда <tex>M = \langle X, I = \mathcal{f} A \subset X \mid | \exists </tex> паросочетание <tex> M: X \cap ends(M) = A \mathcal {g} \rangle </tex> называют '''трансверсальным матроидом.'''
}}
Подмножество паросочетания также является паросочетанием. Удалим из исходного паросочетания <tex>M</tex> ребра, концами которых являются вершины из множества <tex>B \setminus A</tex>. Оставшееся множество ребер будет являться паросочетанием, которое обозначим за <tex>M'</tex>. И будет выполняться условие <tex> X \cap ends(M') = A </tex> , что значит, <tex> A \in I </tex>.
3) <tex>\mid | A \mid | < \mid | B \mid | \Rightarrow \mathcal {9} x \in B \setminus A, A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \in I</tex>
Раскрасим ребра из паросочетания, соответствующего <tex> B </tex> в синий цвет, а соответствующего <tex> A </tex> — в красный. Причем ребра, соответствующие двум паросочетаниям, будут окрашены в пурпурный цвет. Таким образом, получится <tex> |B \setminus A| </tex> ребер синего цвета, <tex> |A \setminus B| </tex> ребер красного цвета, и будет выполняться соотношение <tex> |B \setminus A| > |A \setminus B|</tex>. Рассмотрим подграф <tex> H </tex>, индуцированный красными и синими ребрами из исходного графа. Каждая вершина соответствует либо двум ребрам — синему и красному, либо одному — синему или красному. Любая компонента связности представляет собой либо путь, либо цикл, состоящий из чередующихся красных и синих ребер. Так как граф двудольный, любой цикл состоит из четного числа ребер. Так как синих ребер больше, чем красных, то должен существовать путь, начинающийся и оканчивающийся синим ребром. Обозначим этот путь <tex> H' </tex>. Поменяем в <tex> H' </tex> синий и красный цвета. Получаем, что ребра, окрашенные в красный и пурпурный цвета образуют паросочетание в графе. Очевидно, что подмножество соответствующее этому новому паросочетанию имеет вид <tex>A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} </tex>, где <tex> x \in B \setminus A </tex>. Что значит, что <tex> A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \in I</tex>.
{{Определение
|definition=
'''Универсальным матроидом''' называют объект <tex>U_n,_k = \langle X = \{1, 2, 3, ..., n\}, I = \mathcal{f} A \subset X | \mid | A \mid | \leq k\} \rangle </tex>
}}
1) <tex>\varnothing \in I</tex>
<tex> \mid | \varnothing \mid | = 0 \leq k \Rightarrow \varnothing \in I</tex>
2) <tex>A \subset B, B \in I \Rightarrow A \in I</tex>
<tex> \mid | A \mid | \leq \mid | B \mid | \leq k \Rightarrow \mid | A \mid | \leq k \Rightarrow A \in I </tex>
3) <tex>\mid | A \mid | < \mid | B \mid | \Rightarrow \mathcal {9} x \in B \setminus A, A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \in I</tex>
Так как <tex>\mid | A \mid | < \mid | B \mid | </tex> и числа в каждом множестве различны, найдётся такое число <tex> x \in B </tex>, которое не будет принадлежать меньшему по мощности множеству <tex> A </tex>.Рассмотрим <tex> A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} </tex>. <tex>\mid | A \mid | < \mid | B \mid | \Rightarrow \mid | A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \mid | = \mid | A \mid | + 1 \leq \mid | B \mid | \leq k \Rightarrow A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \in I</tex>
}}
