1302
правки
Изменения
→Корректность алгоритма Хаффмана
Идея доказательства состоит в том, чтобы взять дерево <tex>T</tex>, представляющее произвольный оптимальный префиксный код, и преобразовать его в дерево, представляющее другой оптимальный префиксный код, в котором символы <tex>x</tex> и <tex>y</tex> являются листьями с общим родительским узлом, причем в новом дереве эти листья находятся на максимальной глубине.
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> — два символа, представленные листьями с общим родительским узлом, которые находятся на максимальной глубине дерева <tex>T</tex>. Предположим без потери общности, что <tex>f[a] \le f[b]</tex> и <tex>f[x] \le f[y]</tex>. Поскольку <tex>f[x]</tex> и <tex>f[y]</tex> — две самые маленькие частоты (в указанном порядке), <tex>f[a]</tex> и <tex>f[b]</tex> — две произвольные частоты, то выполняются соотношения <tex>f[x] \le f[a]</tex> и <tex>f[y] \le f[b]</tex>. В результате перестановки в дереве <tex>T</tex> листьев <tex>a</tex> и <tex>x</tex> получается дерево <tex>T'</tex>, а при последующей перестановке в дереве V листьев <tex>b</tex> и <tex>y</tex> получается дерево <tex>T''</tex>. Разность стоимостей деревьев Т и Т" равна
Предположим без потери общности, что <tex>f[a] \le f[b]</tex> и <tex>f[x] \le f[y]</tex>. Поскольку <tex>f[x]</tex> и <tex>f[y]</tex> — две самые маленькие частоты (в указанном порядке), <tex>f[a]</tex> и <tex>f[b]</tex> — две произвольные частоты, то выполняются соотношения <tex>f[x] \le f[a]</tex> и <tex>f[y] \le f[b]</tex>. В результате перестановки в дереве <tex>T</tex> листьев <tex>a</tex> и <tex>x</tex> получается дерево <tex>T'</tex>, а при последующей перестановке в дереве V листьев <tex>b</tex> и <tex>y</tex> получается дерево <tex>T''</tex>. Разность стоимостей деревьев Т и Т" равна <tex>B(T) - B(T') = \sum_sum\limits_{c \in C} f(c)d_T(C) - \sum_sum\limits_{c \in C} f(c)d_{T'}(C)= \\ \\
=(f[a] - f[x])(d_T(a) - d_T(x)) \ge 0 ,</tex>
