Изменения

[[Полукольца и алгебры|<<]] [[Математический_анализ_2_курсВнешняя мера|>>]]

1)  Пусть <tex> A \setminus\bigcup\limits_{n=1}^{N} A_n = \bigcup\limits_{p} D_p </tex>, тогда <tex> A = \bigcup\limits_{n=1}^{N} A_n \cup \bigcup\limits_{p} D_p </tex>. По сигма-аддитивности меры, <tex> m(A) = \sum\limits_{n = 1}^{N} A_n + \sum\limits_{p} D_p </tex>. Так как второе слагаемое неотрицательно, то <tex> m(A) \ge \sum\limits_{n = 1}^{N} A_n </tex>. Устремляя <tex> n </tex> к бесконечности, получаем требуемое. 2) Можно представить <tex> A = \bigcup\limits_{n} (A \cap A_n) </tex>, каждое из пересечений принадлежит <tex> \mathcal R </tex>, поэтому <tex> A = \bigcup\limits_{p} B_p </tex>, отсюда <tex> m(A) = \sum\limits_{p} m(B_p) </tex>. Разобьем множества <tex> B_p </tex> на группы, так чтобы в группе с номером <tex> n </tex> были дизъюнктные множества, объединение которых является подмножеством <tex> A_n </tex>. Для каждой такой группы, мера объединения ограничена по пункту 1) мерой <tex> A_n </tex>, поэтому получаем <tex> m(A) \le \sum\limits_{p} m(A_p) </tex>.

[[Полукольца и алгебры|<<]] [[Математический_анализ_1_курс#.D0.93.D0.BB.D0.B0.D0.B2.D0.B0_V_.D0.A0.D1.8F.D0.B4.D1.8BВнешняя мера|>>]]