Изменения

Все наборы значений аргументов <tex>A_1, A_2, A_3</tex> , на которых функция принимает единичное (либо нулевое) значение, можно получить из соотношения вида <tex>3A_1+4A_2+6A_3\ge5</tex>.

Предположим, что <tex>XOR</tex> {{---}} пороговая функция. При аргументах <tex>(0, 0)</tex> значение функции <tex>XOR</tex> равно 0. Тогда, по определению пороговой функции неравенство <tex>A_1 x_1+A_2 x_2 \ge T</tex> не должно выполняться. Подставляя значение аргументов, получаем, что <tex>T>0</tex>. При аргументах <tex>(0, 1)</tex> и <tex>(1, 0)</tex> значение функции <tex>XOR</tex> равно 1. Тогда, по определению выполняется неравенство <tex>A_1 x_1+A_2 x_2 \ge T</tex>, подставляя в которое значения соответствующих аргументов, получаем <tex>A_1 \ge T, A_2 \ge T</tex>. Отсюда следует, что <tex>A_1>0, A_2>0</tex> и <tex>A_1+A_2 \ge 2T</tex>. При аргументах <tex>(1, 1)</tex> значение функции <tex>XOR</tex> равно 0, следовательно неравенство <tex>A_1 x_1+A_2 x_2 \ge T</tex> выполняться не должно, то есть <tex>A_1+A_2 < T</tex>. Но неравенства <tex>A_1+A_2 \ge 2T</tex> и <tex>A_1+A_2 < T</tex> при положительных <tex>A_1,A_2</tex> и <tex>T</tex> одновременно выполнятся выполняться не могут. Получили противоречие и, значит, функция <tex>XOR</tex> непороговая.