3622
правки
Изменения
Добавлены определения нетранзитивного и антитранзитивного отношения, добалены также примеры и источники информации.
== Определение ==
В математике [[Определение отношения|бинарное отношение]] <tex>R</tex> на множестве <tex>X</tex> называется ''транзитивным'', если для любых трёх элементов ''a, b, c'' из выполнения отношений <tex> aRb </tex> и <tex> bRc </tex> следует выполнение отношения <tex> aRc </tex>. Свойство ''транзитивности'' на отношениях в [[Основные определения: граф, ребро, вершина, степень, петля, путь, цикл|графе]] означает, что существоние пути из вершины ''a'' в ''b'' и из ''b'' в ''с'' влечёт существование пути из ''a'' в ''с''. Формально записывается <tex> (a \mapsto b) \land (b \mapsto c) \Rightarrow (a \mapsto c) </tex>. Также это можно понимать, что вершины графа ''a, b, c'' находятся в одной [[Отношение связности, компоненты связности|компоненте связности]].
{{Определение
|definition=Бинарное отношение <tex>R</tex>, заданное на множестве <tex>X</tex> называется '''транзитивным''', если для <tex>\forall a, b, c \in X</tex> выполняется : <tex>(aRb, ) \land (bRc ) \Rightarrow (aRc)</tex>.}}
Если это условие соблюдается не для всех троек ''a, b, c'', то такое отношение называется нетранзитивным. Например, не для всех троек <tex> a, b, c \in N </tex> верно, что <tex> (a \nmid b) \land (b \nmid c) \Rightarrow (a \nmid c) </tex>.
{{Определение
|definition =
Бинарное отношение <tex>R</tex>, заданное на множестве <tex>X</tex> называется '''нетранзитивным''', если <tex>\exists a, b, c \in X</tex>: <tex>(aRb) \land (bRc) \Rightarrow \neg(aRc)</tex>.
}}
Существует более "сильное" свойство {{---}} '''антитранзитивность'''. Под этим термином понимается, что для любых троек ''a, b, c'' отсутствует транзитивность. Антитранзитивное отношение {{---}} отношение '''победить''' в турнирах «на вылет»: если A победил игрока B, а B победил игрока C, то A не играл с C, следовательно, не мог его победить.
{{Определение
|definition =
Бинарное отношение <tex>R</tex>, заданное на множестве <tex>X</tex> называется '''антитранзитивным''', если для <tex>\forall a, b, c \in X</tex>: <tex>(aRb) \land (bRc) \Rightarrow \neg(aRc)</tex>.
}}
== Свойства ==
* Если отношение <tex>R</tex> транзитивно, то обратное отношение <tex>R^{-1}</tex> также транзитивно. Пусть <tex>aR^{-1}b, bR^{-1}c</tex>, но по определению обратного отношения <tex>cRb, bRa</tex>. Так как <tex>R</tex> транзитивно, то <tex>cRa</tex> и <tex>aR^{-1}c</tex>, что и требовалось доказать.
* Если отношения <tex>R, S</tex> транзитивны, то отношение <tex>T = R \cap S</tex> транзитивно. Пусть <tex>aTb, bTc \Rightarrow aRb, aSb, bRc, bSc</tex>. Из транзитивности <tex>R, S</tex> следует <tex>aRc, aSc</tex>, но из определения пересечения отношений получаем <tex>aTc</tex>, что и требовалось доказать.
* Из последнего свойства следует, что пересечение любого количества транзитивных отношений транзитивно.Пересечение всех транзитивных отношений на множестве называется [[Транзитивное замыкание|транзитивным замыканием]]. == Примеры транзитивных отношений ==* Отношения '''[[Частичный порядок|частичного порядка]]''':** ''строгое неравенство:'' <tex>(a < b), (b < c) \Rightarrow (a < c)\;</tex>** ''нестрогое неравенство'' <tex>\le\;</tex>** '''включение подмножества:'''*** ''строгое подмножество'' <tex>\subset\;</tex>*** ''нестрогое подмножество'' <tex>\subseteq\;</tex>** '''делимость:''' *** <tex>(a \mid b), (b \mid c) \Rightarrow (a \mid c)\;</tex>*** <tex>(a \,\vdots\, b), (b \,\vdots\, c) \Rightarrow (a \,\vdots\, c)\;</tex>* '''Равенство:''' <tex>(a = b), (b = c) \Rightarrow (a = c)\;</tex>* '''Эквивалентность:''' <tex>(a \Leftrightarrow b), (b \Leftrightarrow c) \Rightarrow (a \Leftrightarrow c)\;</tex>* '''Импликация:''' <tex>(a \Rightarrow b), (b \Rightarrow c) \Longrightarrow (a \Rightarrow c)\;</tex>* '''Параллельность:''' <tex>(a \parallel b), (b \parallel c) \Rightarrow (a \parallel c)\;</tex>* Отношение ''подобия'' геометрических фигур* Являться предком == Примеры нетранзитивных отношений ==* Пищевая цепочка: это отношение не всегда является транзитивным(пример {{---}} волки едят оленей, олени едят траву, но волки не едят траву, контрпример {{---}} люди едят кроликов, кролики едят морковь, но люди тоже едят морковь)* Быть предпочтительнее чем. Если мы хотим яблоко вместо апельсина, а вместо яблока мы бы хотели арбуз, то это не значит, что мы предпочтём арбуз яблоку.* Быть другом* Являться коллегой по работе* Быть подчиненным. Например, во времена феодального строя в Западной Европе была в ходу поговорка: ''Вассал моего вассала {{---}} не мой вассал''. == Примеры антитранзитивных отношений ==* Быть сыном(отцом, бабушкой). Но! Можно быть братом(сестрой) {{---}} тогда отношение транзитивное.* Игра "Камень, ножницы, бумага". Камень побеждает ножницы, ножницы выигрывают у бумаги, но камень проигрывает бумаге и т. д.* Отношение ''бойцовской силы'' между биологическими видами(1-й вид организмов вытесняет 2-й вид, 2-й вытесняет 3-й, а тот, в свою очередь, вытесняет 1-й). Это относится и к группам людей, использующих разные экономические стратегии. == Источники информации ==* [http://en.wikipedia.org/wiki/Transitive_relation Wikipedia | Transitive relation]* [http://en.wikipedia.org/wiki/Intransitivity Wkipedia | Intransivity]* [http://golovolomka.hobby.ru/books/gardner/gotcha/ch5/11.html Парадокс Кондорсе]* [http://sarodom.ru/Statyi/002.htm Отношения на графах]* [http://www.hse.ru/data/2010/11/21/1209059687/intr.doc Развитие понимания транзитивности и нетранзитивности]
