90
правок
Изменения
Нет описания правки
<tex> | A |\! = | A_n |+\left( \sum \limits_{I \in 2^{N'}} (-1)^{|I|+1} \left| \bigcap \limits_{ j \in I} A_j \right| \right) - \left( \sum \limits_{I \in 2^{N'}} (-1)^{|I|+1} \left| \bigcap \limits_{ j\in I \cup \{ n \} } A_j \right| \right)</tex> <tex> \!=| A_n |+\left( \sum \limits_{I \in 2^{N'}} (-1)^{|I|+1} \left| \bigcap \limits_{ j \in I } A_j \right| \right) + \left( \sum \limits_{I \in 2^{N'}} (-1)^{|I|+2} \left| \bigcap \limits_{ j\in I \cup \{ n \} } A_j \right| \right) </tex>
Равенство справедливо, потому что все наборы <tex> I \in 2^N </tex> можно разбить на две группы :
# <tex>\{n\} \cup I</tex>, где <tex>I \in N'</tex> Аналогично предыдущему, только в наборе будет индекс <tex> n </tex>.
Как видно из равенства, первое и третье слагаемое "отвечают" за вторую группу, а второе слагаемое за первую группу. Значит, равенство истиннои <tex>|A| = \sum \limits_{I \in 2^N} (-1)^{|I|+1} \left| \bigcap \limits_{ j \in I } A_j \right| </tex> .
Таким образом, для <tex>~l=n</tex> мы доказали, что равенство верно. Значит, индукционный переход верен, то есть теорема доказана.
}}
