Изменения

Пусть <tex> G </tex> {{- --}} связный граф.

'''Мост''' ''(1англ. bridge) Мост '' графа <tex>G</tex> {{- --}} ребро, соединяющее как минимум две компоненты [[Отношение рёберной двусвязности|реберной двусвязности ]] <tex>G</tex>. <tex>(1)</tex>

Ребра, соединяющие компоненты реберной двусвязности - мосты [[Файл:Bridge_1.png|left|thumb|240px|Граф <tex>G</tex>]]<br clear="all"/> Пример графа G.с тремя мостами

(2) Мост графа <tex>G</tex> {{--- }} ребро, при удалении которого граф <tex>G</tex> становится несвязным. <tex>(2)</tex>

(3) Ребро <tex>x</tex> является мостом графа <tex>G</tex>, если в <tex>G</tex> существуют такие вершины <tex>u</tex> и <tex>v</tex>, что любой простой путь между этими вершинами проходит через ребро <tex>x.</tex> <tex>(3)</tex>

(4) Ребро <tex>x</tex> является мостом графа <tex>G</tex>, если существует разбиение множества вершин <tex>V</tex> на такие множества <tex>U</tex> и <tex>W</tex>, что <tex>\forall u \in U</tex> и <tex>\forall w \in W</tex> ребро <tex>x</tex> принадлежит любому простому пути <tex>u \rightsquigarrow w</tex>. <tex>(4)</tex>

<tex>(1) \Rightarrow (2)</tex> Пусть ребро <tex>x</tex> соединяет вершины <tex>a</tex> и <tex>b</tex>. Пусть граф <tex> G - {x} </tex> {{- --}} связный. Тогда между вершинами <tex>a</tex> и <tex>b</tex> существует еще один путь, т.е. между вершинами <tex>a</tex> и <tex>b</tex> существуют два реберно-непересекающихся пути. Но тогда ребро <tex>x</tex> не является мостом графа <tex>G</tex>. Противоречие.

<tex>(2) \Rightarrow (4)</tex> В условиях определения (4) пусть существует существуют такие вершины <tex>u</tex> и <tex>w</tex>, что между ними существует простой путь <tex>P: x \notin P</tex>. Но тогда граф <tex>G - {x}</tex> {{- --}} связный. Противоречие.

Тогда между вершинами <tex>a</tex> и <tex>b</tex> есть простой путь <tex>P : P \land cap x = \varnothing</tex>. Составим такой путь <tex>Q</tex>, что <tex>Q = ((u \rightsquigarrow a ) \circ P \circ (b \rightsquigarrow w)) </tex>. Сделаем путь <tex>Q</tex> [[Теорема о существовании простого пути в случае существования пути|простым]]. Получим простой путь <tex>(u \rightsquigarrow w)</tex>, не проходящий по ребру <tex>x</tex>. Противоречие.

== Литература См.также ==* Харари Ф. Теория графов.[http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Harari1973ru.djvu[Точка сочленения, эквивалентные определения]]* [[Использование обхода в глубину для поиска мостов]] — М.: Мир, 1973. (Изд. 3, М.: КомКнига, 2006. — 296 с.)

== См.также Источники информации==* Харари Ф. Теория графов. М.: Мир, 1973. (Изд. 3, М.: КомКнига, 2006. — 296 с.) [[Точка сочленения, эквивалентные определенияКатегория:Алгоритмы и структуры данных]][[Категория:Связность в графах]]