70
правок
Изменения
Новая страница: «{{Лемма |statement= Пусть <tex>G = (N, \Sigma, P, S)</tex> {{---}} однозначная КС-грамматика и <tex>a_1 \dots a_n</tex> {{---}} ц...»
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex>G = (N, \Sigma, P, S)</tex> {{---}} однозначная КС-грамматика и <tex>a_1 \dots a_n</tex> {{---}} цепочка из <tex>\Sigma^*</tex>. Тогда алгоритм Эрли пытается включить <tex>[A \rightarrow \alpha \cdot \beta, i]</tex> в <tex>I_j</tex> не более одного раза, если <tex>\alpha \ne \varepsilon</tex>
|proof=
Ситуацию <tex>[A \rightarrow \alpha \cdot \beta, i]</tex> можно включить в <tex>I_j</tex> только на шагах <tex>(2)</tex>, <tex>(4)</tex>, или <tex>(5)</tex>. Если она включается на шаге <tex>(4)</tex>, то последний символ цепочки <tex>\alpha</tex> {{---}} терминал, а если на шагах <tex>(2)</tex> или <tex>(5)</tex>, то {{---}} нетерминал. В первом случае результат очевиден. Во втором случае допустим, что <tex>[A \rightarrow \alpha'B \cdot \beta, i]</tex> включается в <tex>I_j</tex>, когда рассматриваются две различные ситуации <tex>[B \rightarrow \gamma \cdot, k]</tex> и <tex>[B \rightarrow \delta \cdot, l]</tex>. Тогда ситуация <tex>[A \rightarrow \alpha' \cdot B\beta, i]</tex> должна оказаться одновременно в <tex>I_k</tex> и в <tex>I_l</tex>.
#Пусть <tex>k \ne l</tex>. Тогда по теореме существуют такие <tex>\theta_1, \theta_2, \theta_3</tex> и <tex>\theta_4</tex>, что <tex>S \Rightarrow^* \theta_1 A \theta_2 \Rightarrow \theta_1 \alpha' B \beta \theta_2 \Rightarrow^* a_1 \dots a_n</tex> и <tex>S \Rightarrow^* \theta_3 A \theta_4 \Rightarrow \theta_3 \alpha' B \beta \theta_4 \Rightarrow^* a_1 \dots a_n</tex>. Но в первом выводе <tex>\theta_1 \alpha' \Rightarrow^* a_1 \dots a_k</tex>, а во втором <tex>\theta_1 \alpha' \Rightarrow^* a_1 \dots a_l</tex>. Тогда для цепочки <tex>a_1 \dots a_n</tex> существуют два разных дерева вывода, в которых <tex>a_{i+1} \dots a_j</tex> выводится из <tex>\alpha' B</tex> двумя разными способами.
#Пусть <tex>k = l</tex>. Тогда <tex>\gamma \ne \delta</tex>. Тогда, так как <tex>[B \rightarrow \gamma \cdot, k] \in I_j</tex> и <tex>[B \rightarrow \delta \cdot, k] \in I_j</tex>, то <tex>\gamma \Rightarrow a_{k+1} \dots a_j</tex> и <tex>\delta \Rightarrow a_{k+1} \dots a_j</tex>, то есть <tex>a_{k+1} \dots a_j</tex> выводится двумя разными способами.
}}
|statement=
Пусть <tex>G = (N, \Sigma, P, S)</tex> {{---}} однозначная КС-грамматика и <tex>a_1 \dots a_n</tex> {{---}} цепочка из <tex>\Sigma^*</tex>. Тогда алгоритм Эрли пытается включить <tex>[A \rightarrow \alpha \cdot \beta, i]</tex> в <tex>I_j</tex> не более одного раза, если <tex>\alpha \ne \varepsilon</tex>
|proof=
Ситуацию <tex>[A \rightarrow \alpha \cdot \beta, i]</tex> можно включить в <tex>I_j</tex> только на шагах <tex>(2)</tex>, <tex>(4)</tex>, или <tex>(5)</tex>. Если она включается на шаге <tex>(4)</tex>, то последний символ цепочки <tex>\alpha</tex> {{---}} терминал, а если на шагах <tex>(2)</tex> или <tex>(5)</tex>, то {{---}} нетерминал. В первом случае результат очевиден. Во втором случае допустим, что <tex>[A \rightarrow \alpha'B \cdot \beta, i]</tex> включается в <tex>I_j</tex>, когда рассматриваются две различные ситуации <tex>[B \rightarrow \gamma \cdot, k]</tex> и <tex>[B \rightarrow \delta \cdot, l]</tex>. Тогда ситуация <tex>[A \rightarrow \alpha' \cdot B\beta, i]</tex> должна оказаться одновременно в <tex>I_k</tex> и в <tex>I_l</tex>.
#Пусть <tex>k \ne l</tex>. Тогда по теореме существуют такие <tex>\theta_1, \theta_2, \theta_3</tex> и <tex>\theta_4</tex>, что <tex>S \Rightarrow^* \theta_1 A \theta_2 \Rightarrow \theta_1 \alpha' B \beta \theta_2 \Rightarrow^* a_1 \dots a_n</tex> и <tex>S \Rightarrow^* \theta_3 A \theta_4 \Rightarrow \theta_3 \alpha' B \beta \theta_4 \Rightarrow^* a_1 \dots a_n</tex>. Но в первом выводе <tex>\theta_1 \alpha' \Rightarrow^* a_1 \dots a_k</tex>, а во втором <tex>\theta_1 \alpha' \Rightarrow^* a_1 \dots a_l</tex>. Тогда для цепочки <tex>a_1 \dots a_n</tex> существуют два разных дерева вывода, в которых <tex>a_{i+1} \dots a_j</tex> выводится из <tex>\alpha' B</tex> двумя разными способами.
#Пусть <tex>k = l</tex>. Тогда <tex>\gamma \ne \delta</tex>. Тогда, так как <tex>[B \rightarrow \gamma \cdot, k] \in I_j</tex> и <tex>[B \rightarrow \delta \cdot, k] \in I_j</tex>, то <tex>\gamma \Rightarrow a_{k+1} \dots a_j</tex> и <tex>\delta \Rightarrow a_{k+1} \dots a_j</tex>, то есть <tex>a_{k+1} \dots a_j</tex> выводится двумя разными способами.
}}
