Изменения
Новая страница: «Бинарное отношение <math>R</math> на множестве <math>X</math> называется '''отношением п...»
[[Бинарное отношение]] <math>R</math> на [[Множества|множестве]] <math>X</math> называется '''отношением порядка''', или '''отношением частичного порядка''', если имеют место
* ''[[Рефлексивное_отношение|Рефлексивность]]'': <math>\forall x (xRx)</math>
* ''[[Транзитивное_отношение|Транзитивность]]'': <math>\forall x \forall y \forall z (x R y \land y R z \Rightarrow x R z)</math>;
* ''[[Антисимметричное_отношение|Антисимметричность]]'': <math>\forall x \forall y (x R y \land y R x \Rightarrow x = y)</math>.
Множество <math>X</math>, на котором введено отношение частичного порядка, называется '''частично упорядоченным'''.
Отношение <math>R</math>, удовлетворяющее условиям рефлексивности, транзитивности, антисимметричности также называют ''нестрогим'', или ''рефлексивным частичным порядком'' и обычно обозначают символом <math>\leqslant</math>. Если условие рефлексивности заменить на условие антирефлексивности:
: <math>\forall x \neg(xRx)</math>,
то получим определение ''строгого'', или ''антирефлексивного частичного порядка'', обозначаемое обычно символом <math><</math>.
В общем случае, если <math>R</math> — транзитивное, антисимметричное отношение, то
: <math>R_{\leqslant} = R \cup \{(x, x) | x \in X\}</math> — рефлексивный порядок
: <math>R_{<} = R \setminus \{(x, x) | x \in X\}</math> — антирефлексивный порядок.
Отношение частичного порядка <math>R</math> называется ''линейным порядком'', если выполнено условие
: <math>\forall x \forall y (x R y \lor y R x)</math>
Множество <math>X</math>, на котором введено отношение линейного порядка, называется '''линейно упорядоченным''', или ''цепью''.
Отношение <math>R</math>, удовлетворяющее только условиям рефлексивности и транзитивности, называется '''квазипорядком''', или ''предпорядком''.
== Примеры ==
* На множестве вещественных чисел отношения «больше» и «меньше» являются отношениями строгого порядка, а «больше или равно» и «меньше или равно» — нестрогого.
* Отношение Делимость|делимости на множестве целых чисел являются отношением нестрогого порядка.
* ''[[Рефлексивное_отношение|Рефлексивность]]'': <math>\forall x (xRx)</math>
* ''[[Транзитивное_отношение|Транзитивность]]'': <math>\forall x \forall y \forall z (x R y \land y R z \Rightarrow x R z)</math>;
* ''[[Антисимметричное_отношение|Антисимметричность]]'': <math>\forall x \forall y (x R y \land y R x \Rightarrow x = y)</math>.
Множество <math>X</math>, на котором введено отношение частичного порядка, называется '''частично упорядоченным'''.
Отношение <math>R</math>, удовлетворяющее условиям рефлексивности, транзитивности, антисимметричности также называют ''нестрогим'', или ''рефлексивным частичным порядком'' и обычно обозначают символом <math>\leqslant</math>. Если условие рефлексивности заменить на условие антирефлексивности:
: <math>\forall x \neg(xRx)</math>,
то получим определение ''строгого'', или ''антирефлексивного частичного порядка'', обозначаемое обычно символом <math><</math>.
В общем случае, если <math>R</math> — транзитивное, антисимметричное отношение, то
: <math>R_{\leqslant} = R \cup \{(x, x) | x \in X\}</math> — рефлексивный порядок
: <math>R_{<} = R \setminus \{(x, x) | x \in X\}</math> — антирефлексивный порядок.
Отношение частичного порядка <math>R</math> называется ''линейным порядком'', если выполнено условие
: <math>\forall x \forall y (x R y \lor y R x)</math>
Множество <math>X</math>, на котором введено отношение линейного порядка, называется '''линейно упорядоченным''', или ''цепью''.
Отношение <math>R</math>, удовлетворяющее только условиям рефлексивности и транзитивности, называется '''квазипорядком''', или ''предпорядком''.
== Примеры ==
* На множестве вещественных чисел отношения «больше» и «меньше» являются отношениями строгого порядка, а «больше или равно» и «меньше или равно» — нестрогого.
* Отношение Делимость|делимости на множестве целых чисел являются отношением нестрогого порядка.
