94
правки
Изменения
Нет описания правки
== '''Определение''' ==
'''Коды Грея для перестановок''' {{---}} это такое упорядочение перестановок, что при котором соседние перестановки отличаются только элементарной транспозицией.
'''Элементарная транспозиция''' {{---}} транспозиция двух соседних элементов (обмен местами двух соседних элементов). Далее будем называть элементарную транспозицию просто транспозицией.
== '''Построения кода Грея для перестановок''' ==
Для $n = 1$ код Грея выглядит так:
$\{ $1\}$ } {{---}} $n!$ различных перестановок, отличных друг от друга в одной транспозиции (очевидно).
Будем строить код Грея для перестановок длины $n = k$. Предположим, что нам известен код Грея для перестановок длиной $n = k - 1$. Возьмем первую перестановку из известного нам кода. Пусть она выглядит так:
$\{$a_{1}, a_{2}, a_{3}, ..., a_{k-1}\}$} ,где $a_{i}$ при $i = 1, 2, 3, ..., k$ {{---}} элементы перестановки.
Элемент $a_{k}$ запишем в начало этой перестановки:
$\{$a_{k}, a_{1}, a_{2}, a_{3}, ..., a_{k - 1}\}$}
Будем "двигать" этот элемент $a_{k}$ влево, меняя его с соседним:
$\{a_{k}, a_{1}, a_{2}, a_{3}, ..., a_{k - 1}\}$ (1)
$\{$a_{k1}, a_{1k}, a_{2}, a_{3}, ..., a_{k - 1}\}$} (12)
$\{$a_{1}, a_{k2}, a_{2k}, a_{3}, ..., a_{k - 1}\}$} (2)
$..........................$
$\{$a_{1}, a_{2}, a_{3}, ..., a_{k}, a_{k - 1}$\} {$a_{1}, a_{2}, a_{3}, ..., a_{k - 1}, a_{k}$} (3)
$\{a_{1}, a_{2}, a_{3}, ..., a_{k - 1}, a_{k}\}$ (3)
Получим $k$ различных перестановок, отличающихся в одной транспозиции. Возьмем следующую строку из кода Грея для перестановок длиной $n = k - 1$, которая будет выглядеть так (т.к. мы получили, что элемент стоящий на первом месте в перестановке будет "двигаться" вправо см. (1), (2), то и во второй перестановке первый элемент "поменяется" со вторым):
$\{$a_{2}, a_{1}, a_{3}, ..., a_{k - 1}\}$}
Элемент $a_{k}$ записываем в конец и начинаем "двигать" влево, меняя его с правостоящим:
$\{a_{2}, a_{1}, a_{3}, ..., a_{k - 1}, a_{k}\}$ (4)
$..........................$
$\{$a_{2}, a_{1}, a_{3}, a_{k}, ..., a_{k - 1}\}$}
$\{$a_{2}, a_{1}, a_{k}, a_{3}, ..., a_{k - 1}\}$}
$\{$a_{2}, a_{k}, a_{1}, a_{3}, ..., a_{k - 1}$} {$a_{k}, a_{2}, a_{1}, a_{3}, ..., a_{k - 1\}$}
$\{a_{k}, a_{2}, a_{1}, a_{3}, ..., a_{k - 1}\}$
Опять получили $k$ различных перестановок, отличающихся в одной транспозиции. Далее берем третью строку из кода Грея для перестановок длиной $n = k - 1$, записываем в ее начало элемент $a_{k}$ и двигаем его вправо, как для первой перестановки и т.д.
Для каждой перестановки длиной $n = k - 1$ (всего их $(k - 1)!$) мы получили $k$ новых перестановок. Итого $k\cdot(k - 1)! = k!$ перестановок. Все они различны, т.к. для любых двух перестановок из нового кода Грея элемент $a_{k}$ стоит на разных позициях,а если $a_{k}$ стоит на одной и той же позиции, то эти перестановки образованы от разных перестановок длиной $n = k - 1$ (см. (3), (4)). Так же все соседние перестановки отличаются ровно в одной транспозиции (образованные от одной перестановки различны благодаря построению, от разных перестановок {{---}} имеют $a_{k}$ на одной и той же позиции, но отличаются в одной транспозиции, т.к. является перестановками в коде Грея для перестановок длиной $n = k - 1$, см (3), (4)). Таким образом мы получили $k!$ различных перестановок длиной $k$, отличающихся в одной транспозиции. Алгоритм для построения кодов Грея для перестановок длиной $n$ получен.
