Изменения

Пусть <wikitextex>Пусть $ P = (p_1,p_2,\dots,p_n)$ </tex> является [[Действие перестановки на набор из элементов, представление в виде циклов|перестановкой]] чисел $ <tex> 1, 2,\dots, n$</tex>.

'''Инверсией''' (англ. ''inversion'') в перестановке $<tex>P$ </tex> называется всякая пара индексов $<tex>i, j$ </tex> такая, что $<tex>1\leqslant i<j\leqslant n$ </tex> и $<tex>P[i]>P[j]$</tex>.

'''Таблицей инверсий''' (англ. ''inversion table'') перестановки $ <tex> P $ </tex> называют такую последовательность $ <tex> T = (t_1,t_2,\dots,t_n)$</tex>, в которой $<tex>t_i$ </tex> равно числу элементов перестановки $ <tex> P $</tex>, стоящих в $ <tex> P $ </tex> левее числа $<tex>i$ </tex> и больших $<tex>i$</tex>.

== Алгоритм построения за O(N²) ==

$T[1..n] = 0$ $For$ $'''for''' i = 1..n$ $For$ $'''for''' j = 1..(i - 1)$ $'''if$ $''' P[j] > P[i]$ $T[P[i]] = T[P[i]] + 1$+Сложность данного алгоритма {{---}} $<tex>O(n^2)$</tex>. Уменьшить время работы можно используя алгоритм, похожий на [[Сортировка_слиянием |сортировку слиянием.]] == Алгоритм построения за O(N log N) == Пусть дано разбиение перестановки на два списка, причём для каждого элемента дано число инверсий слева с элементами того же списка и известно, что все числа первого списка стоят левее всех чисел второго списка в исходной перестановке. Будем считать количество инверсий слева элементов обоих списков следующим образом: сливаем списки, аналогично [[Сортировка_слиянием |сортировке слиянием.]] Если в результат нужно записать элемент первого списка, то все нерассмотренные элементы второго списка больше, следовательно, количество инверсий для этого элемента не меняется. Если в результат нужно записать элемент второго списка, то все нерассмотренные элементы первого списка больше его и стоят левее. Следовательно, количество инверсий для этого элемента следует увеличить на количество нерассмотренных элементов первого списка. Описанный алгоритм записывается в псевдокод следующим образом: <font color=green>// ''inverses_merge'' {{---}} процедура, сливающая два списка пар</font> <font color=green>// ''inverses_get'' {{---}} процедура, рекурсивно получающая таблицу инверсий для перестановки</font> '''def''' inverses_merge(ls1, ls2): result = [] it1, it2 = ''null'' '''while''' (it1 < ls1.length) '''and''' (it2 < ls2.length) '''if''' ls1[it1].item < ls2[Дерево it2].item result.append(ls1[it1]) it1++ '''else''' result.append(item = ls2[it2].item, inverses = ls2[it2].inverses + ls1.length - it1) it2++ '''while''' it1 < ls1.length result.append(ls1[it1]) it1++ '''while''' it2 < ls2.length result.append(ls2[it2]) it2++ '''return''' result '''def''' inverses_get(ls): '''if''' ls.length == 1 '''return''' [(item = ls[0], inverses = 0)] '''else''' '''return''' inverses_merge(inverses_get(ls.first_half), inverses_get(ls.second_half))  Сложность представленного алгоритма есть <tex>O(n\log n)</tex>. Алгоритм с такой же сложностью можно построить с помощью [[Дерево_отрезков._Построение | дерева отрезков. Построение]] == Алгоритм построения за O(N) == Для построения таблицы инверсий за линейное время воспользуемся [[Карманная сортировка | карманной сортировкой]]. При [[Карманная сортировка |дерево отрезковкарманной сортировке]]нужно определить карман <tex>B</tex>, в который попадет текущий элемент. Затем найти число элементов в старших карманах относительно <tex>B</tex>. Потом аккуратно подсчитать количество элементов, больших текущего в кармане <tex>B</tex>. Карман <tex>A</tex> считается старшим для кармана <tex>B</tex>, если любой элемент из <tex>A</tex> больше любого элемента из <tex>B</tex>.

'''int''' bucket_sort('''vector<int>''' permutation): '''int''' max = Алгоритм восстановления число больше permutation.size и из которого можно извлечь целый квадратный корень '''int''' bucket =sqrt(max) '''int''' answer = 0<font color=green> // изначально кол-во инверсий</font> '''list<list<int>>''' bank(bucket) '''for''' i = 0 to permutation.size '''int''' pos = (permutation[i] - 1) / (max / bucket) <font color=green>// Определяем в каком кармане должен лежать элемент</font> '''int''' newPosition = 0 '''while''' newPosition < bank[pos].size '''and''' bank[pos][newPosition] < permutation[i] <font color=green>// идем до позиции где должен стоять элемент permutation[i] </font> newPosition++ answer += bank[pos].size - newPosition <font color=green>// ищем сколько инверсий эленент создает в своем кармане</font> bank[pos].insert(newPosition, permutation[i]) <font color=green>// вставляем элемент в Карман на свою позицию </font> '''for''' i = position + 1 to bucket - 1 <font color=green>// ищем сколько инверсий он создает с элементами в других карманах</font> answer += bank[i].size '''return''' answer

Для восстановления таблицы перестановки из таблицы инверсий создаем таблицу, которую будем расширятьВ разделе [[Карманная сортировка | карманная сортировка]] доказывается, по мере добавления в неё чиселчто она работает за линейное время. Добавляем в эту таблицу число i (где i от n до 1) на позицию k+1Что касается подсчета инверсий, где k - число в таблице инверсий на i-том месте. Данный алгоритм довольно прост то в приведенной реализации, но без использования дополнительных структур данных, имеет сложность $O(n^2)$, т. к. для вставки элемента происходит [[Карманная сортировка | карманная сортировка]] в определённую позицию, требуется порядка $n$ перестановок элементовonline режиме и вся математическая часть подходит и под этот случай.

Приведём алгоритм восстановления Следует отметить, что хотя подсчет с использованием помощью [[Сортировка слияниемКарманная сортировка |карманной сортировки слиянием]]выполняется за линейное время, имеющий сложность $но имеет очень большую константу поэтому подсчет инверсий рассматриваемый выше за <tex>O(n*log_2 \log n)$</tex> работает быстрее .

Пусть $\alpha$ и $\beta$ - цепочки упорядоченных пар целых неотрицательных чисел $[m_1, n_1]...[m_k, n_k]$. Рассмотрим двоичную операцию $o$, рекурсивно определенную на парах таких цепочек следующим образом: $([m, n]\alpha)o([m', n']\beta)=\left\{\begin{aligned}[] [m,n](\alpha o ([m'-m, n']\beta)), m \le m',\\ [m', n'](([m-m'-1, n]\alpha) o \beta), m>m'.\\ \end{aligned} \right.$= Алгоритм восстановления ==

Сопоставим каждому элементу Для восстановления перестановки по таблицы инверсий его номер<tex>T</tex> воспользуемся следующим соображением: единица стоит в перестановке на <tex>T_0</tex>-ом месте (индексируем элементы с нуля), так как остальные числа в перестановке больше единицы. Получится множество упорядоченных пар Далее, если известны расположения всех чисел $[m_1<tex>1, \dots, n_1]...[m_kk</tex>, n_k]$то число <tex>k + 1</tex> стоит на <tex>T_{k + 1}</tex>-ой ещё не занятой позиции: все числа, где $m_i$ меньшие <tex>k + 1</tex> уже расставлены. Это рассуждение напрямую переписывается в код следующим образом: <font color=green>// ''j'' {{---}} счётчик пропущенных свободных позиций</font> <font color=green>// ''k'' {{---}} сам элемент, а $n_i$ количество инверсий слева для элемента curr</font> <font color=green>// ''result'' {{---}} его номермассив, в который записывается перестановка. Разобьем данные элементы на пары и произведём с ними операцию $o$Равенство элемента массива нулю обозначает, что эта позиция свободна. Получим некоторое количество цепочек упорядоченных пар</font> '''def''' recover_straight(ls): n = ls. Также разбиваем их на пары и производим операцию $o$. Так действуемlength result = array(0, пока не останется одна цепочкаn) curr = 1 '''for''' k '''in''' ls j = 0 '''for''' i = 0. Выписывая вторые элементы данных упорядоченных пар в том порядке, в каком они представлены в цепочке, получим первоначальную перестановку.(n - 1) '''if''' result[i] == 0 '''if''' j == k result[i] = curr '''break''' '''else:''' j++ curr++ '''return''' result

$[4Этот простой алгоритм имеет сложность <tex>O(n^2)</tex> — внутренний цикл делает до <tex>n</tex> итераций, 1внешний — ровно <tex>n</tex> итераций. Видно, 6что для восстановления нужно узнавать <tex>k</tex>-ую свободную позицию. Это можно делать с помощью [[Дерево_отрезков._Построение | дерева отрезков]] следующим образом: построим дерево отрезков для суммы на массиве из единиц. Единица в позиции означает, 3, 2, 2что данная позиция свободна. Чтобы найти <tex>k</tex>-ую свободную позицию, 1нужно спускаться (начиная с корня) в левое поддерево если сумма в нём больше, 1чем <tex>k</tex>, 1, 0]$ - таблица инверсийи в правое дерево иначе. Данный алгоритм переписывается в код следующим образом:

$[{| style = "border: 0px solid; background-color: gray; text-align: center; padding : 0" cellspacing = "2"| style = "background-color: white; padding: 3px 6px" |(5, 0)| style = "background-color: white; padding: 3px 6px" |(7, 0)| style = "background-color: white; padding: 3px 6px" |(1,0)| style = "background-color: white; padding: 3px 6px" |(3, 0)| style = "background-color: white; padding: 3px 6px" |(4, 0)| style = "background-color: white; padding: 3px 6px" |(6, 0)| style = "background-color: white; padding: 3px 6px" |(8, 0)| style = "background-color: white; padding: 3px 6px" |(2][, 0)|-|colspan = "2" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|(5,0), (7, 0)|colspan = "2" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|(1][, 0), (3,0)|colspan = "2" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|(4][, 0), (6, 0)|colspan = "2" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|'''(2, 1)''', (8,0)|-|colspan = "4" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|'''(1, 2)''', '''(3]o[1,2)''', (5, 0), (7][, 0)|colspan = "4" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|'''(2, 3)''', (4,5][0),(6][, 0), (8,0)|-|colspan = "8]" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|(1, 2), '''(2, 6)''', (3, 2), '''(4, 2)''', (5, [0), '''(6, 1)''', (7,10][0), (8,9]$0)|}

$[{| style = "border: 0px solid; background-color: grey; text-align: center; padding : 0;" cellspacing = "2"|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>\bf{1}</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0</tex>|colspan = "1" style = "background-color: #EEF; text-align: left; padding: 3px 6px"|пропускаем две свободных позиции и ставим <tex>\bf{1}</tex>|-|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>1</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>\bf{2}</tex>|colspan = "1" style = "background-color: #EEF; text-align: left; padding: 3px 6px"|пропускаем шесть свободных позиций и ставим <tex>\bf{2}</tex>|-|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>1</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>\bf{3}</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0</tex>|colspan = "1," style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>2][</tex>|colspan = "1" style = "background-color: #EEF; text-align: left; padding: 3px 6px"|пропускаем две свободных позиции и ставим <tex>\bf{3}</tex>|-|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0,7][</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>1</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>3</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>\bf{4}</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0,</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>2</tex>|colspan = "1" style = "background-color: #EEF; text-align: left; padding: 3px 6px"|пропускаем две свободных позиции и ставим <tex>\bf{4}</tex>|-|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>\bf{5][}</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0,</tex>|colspan = "1][0," style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>1</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>3</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>4][</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0,6][</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0,8][</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>2</tex>|colspan = "1" style = "background-color: #EEF; text-align: left; padding: 3px 6px"|не пропускаем свободных позиции и ставим <tex>\bf{5}</tex>|-|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>5</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0,</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>1</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>3]o[</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>4</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>\bf{6}</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0,10][</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>2</tex>|colspan = "1" style = "background-color: #EEF; text-align: left; padding: 3px 6px"|пропускаем одну свободную позицию и ставим <tex>\bf{6}</tex>|-|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>5</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>\bf{7}</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>1</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>3</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>4</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>6</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0,9]$</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>2</tex>|colspan = "1" style = "background-color: #EEF; text-align: left; padding: 3px 6px"|не пропускаем свободных позиций и ставим <tex>\bf{7}</tex>|-|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>5</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>7</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>1</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>3</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>4</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>6</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>\bf{8}</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>2</tex>|colspan = "1" style = "background-color: #EEF; text-align: left; padding: 3px 6px"|не пропускаем свободных позиций и ставим <tex>\bf{8}</tex>|}