1632
правки
Изменения
м
Выделим в <tex> X </tex> класс множеств <tex> \mathcal{A} </tex>, такой, что каждое <tex> A \in \mathcal{A} </tex> хорошо разбивает любое множество из <tex> X </tex>.
rollbackEdits.php mass rollback
}}
Так как <tex> B = (B \cap A) \cup (B \cap \overline{A}) </tex>, то, по полуаддитивности внешней меры, <tex> \mu^*(B) \le \mu^*(B \cap A) + \mu^*(B \cap \overline{A}) </tex> всегда, поэтому, когда мы будем проверять, что одно множество хорошо разбивает другое, достаточно проверять неравенство <tex> \mu^*(B) \ge \mu^*(B \cap A) + \mu^*(B \cap \overline{A}) </tex>. Оно всегда верно, если <tex> \mu^*(B) = +\infty </tex>, поэтому далее будем проверять его только для случая <tex> \mu^*(B) \le < +\infty </tex>. {{Определение|definition=Множество <tex>A \subset X</tex> называется '''μ*-измеримым''', если оно '''хорошо разбивает''' всякое множество <tex>E \subset X</tex>.}} Выделим в <tex> X </tex> класс <tex> \mu^*</tex>-измеримых множеств <tex> \mathcal{A} </tex>.
{{Теорема
|statement=
#: Значит, <tex> A \cap B </tex> тоже хорошо разбивает любое подмножество <tex> X </tex> и принадлежит <tex> \mathcal A </tex>. Мы доказали, что <tex> \mathcal A </tex> - алгебра.
Пусть <tex> A \in \mathcal{A}, A = A_1 \cup A_2 </tex> и <tex>A_1 \cap A_2 = \varnothing</tex>, проверим, что <tex> \mu^* </tex> конечно-аддитивна.
<tex> \mu^*(A) = \mu^*(A_1 \cup A_2) = \mu^*((A_1 \cup A_2) \cap A_1) + \mu^*((A_1 \cup A_2) \cap \overline{A_1}) = \mu^*(A_1) + \mu^*(A_2) </tex>.
