Изменения
Нет описания правки
<wikitex>
{{Определение
'''Элементарная транспозиция''' {{---}} транспозиция двух соседних элементов. Далее будем называть элементарную транспозицию просто транспозицией.}}
== '''Примеры кодов Грея для перестановок == $n=2:$ $n=3:$ $\{1, 2\}$ $\{1, 2, 3\}$ $\{2, 1\}$ $\{1, 3, 2\}$ $\{3, 1, 2\}$ $\{3, 2, 1\}$ $\{2, 3, 1\}$ $\{2, 1, 3\}$ == Построения кода Грея для перестановок''' ==
Чтобы построить код Грея для перестановки длиной $n$, будем использовать код Грея для перестановки длиной $n - 1$.
Для каждой перестановки длиной $n = k - 1$ (всего их $(k - 1)!$) мы получили $k$ новых перестановок. Итого $k\cdot(k - 1)! = k!$ перестановок. Все они различны, т.к. для любых двух перестановок из нового кода Грея элемент $a_{k}$ стоит на разных позициях,а если $a_{k}$ стоит на одной и той же позиции, то эти перестановки образованы от разных перестановок длиной $n = k - 1$ (см. (3), (4)). Так же все соседние перестановки отличаются ровно в одной транспозиции (образованные от одной перестановки различны благодаря построению, от разных перестановок {{---}} имеют $a_{k}$ на одной и той же позиции, но отличаются в одной транспозиции, т.к. является перестановками в коде Грея для перестановок длиной $n = k - 1$, см (3), (4)). Таким образом мы получили $k!$ различных перестановок длиной $k$, отличающихся в одной транспозиции. Алгоритм для построения кодов Грея для перестановок длиной $n$ получен.
== '''Псевдокод получения следующего кода Грея для перестановок по предыдущему == Пусть нам известен код Грея для перестановок длиной $n$, записанный в массив pred_perest, состоящий из строк, в которые записаны перестановки, и новый элемент new_elem. При этом pred_perest[i](1) будет обозначать, что в i-той перестановке выделен первый элемент. Тогда: t := false; {булевая переменная, отвечающая за прямой или обратный порядок перебора} for i := 1 to n! do begin if t = false then begin pred_perest[i](n+1) := new_elem; for j := n + 1 downto 1 do begin smena write(pred_perest[i]); end; end else == Сведение задачи построение кода Грея для перестановок к графам''' ==
Последовательность перестановок, полученная с помощью данного алгоритма имеет интересную интерпретацию. Так, если рассмотреть граф, вершины которого соответствуют всем перестановкам и в котором две вершины, соответствующие перестановкам $f$ и $g$, соединены ребром, если $g$ образуется из $f$ однократной транспозицией соседних элементов, то полученная последовательность является гамильтоновым путем в этом графе.
