Изменения

* <tex> 6 \Rightarrow 7 </tex> Докажем, что любые две вершины графа соеденены простой цепью, а тогда поскольку <tex> 2 \Rightarrow 3 </tex>, получим <tex> p = q + 1 </tex>. Очевидно, любые две вершины соединены простой цепью. Если две вершины соединены более чем одной простой цепью, то мы получим цикл. Причем он должен являться <tex> K_3 </tex>, так как иначе добавив ребро, соединяющее две вершины цикла мы получим более одного простого цикла, что противоречит условию.<tex> K_3 </tex> является собственным подграфом <tex>G</tex>, поскольку <tex>G</tex> не является <tex> K_p </tex> для <tex> p \ge 3 </tex>. <tex>G</tex> связен, а значит есть вершина смежная с <tex> K_3 </tex>. Очевидно, можно добавить ребро так, что образуется более одного простого цикла. Если нельзя добавить ребра так, чтобы не нарушалось исходное условие, то граф <tex>G</tex> является <tex>K_p</tex> для <tex> p \ge 3 </tex>, и мы получаем противоречие с исходным условием. * <tex> 7 \Rightarrow 1 </tex> Если <tex>G</tex> имеет простой цикл, то он является отдельной компонентой <tex>K_3</tex> по ранее доказанному. Все остальные компоненты должны быть деревьями, но для выполнения соотношения <tex> p = q + 1 </tex> должно быть не более одной компоненты отличной от <tex>K_3</tex>, так как в <tex>K_3</tex> <tex> p = q = 3 </tex>. Если это дерево содержить простой путь длины 2, то в <tex>G</tex> можно добавить ребро так, что образуется 2 простых цикла. Следовательно, этим деревом является <tex>K_1</tex> или <tex>K_2</tex>. Значит <tex>G</tex> является <tex>K_3