Изменения

'''Расстояние Дамерау {{---}} Левенштейна''' (англ. ''Damerau-Levenshtein distance'') между двумя строками, состоящими из конечного числа символов {{---}} это минимальное число операций вставки, удаления, замены одного символа и транспозиции двух соседних символов, необходимых для перевода одной строки в другую.}}Является модификацией [[Задача о редакционном расстоянии, алгоритм ЛевенштейнаВагнера-Фишера| расстояния Левенштейна]], отличается от него добавлением операции перестановки.

==Практическое применение==Расстояние Дамерау -Левенштейна, как и метрика Левенштейна, является мерой "схожести" двух строк. Алгоритм его поиска находит применение в реализации нечёткого поиска, а также в биоинформатике (сравнение ДНК), несмотря на то, что изначально алгоритм разрабатывался для сравнения текстов, набранных человеком (Дамерау показал, что 80% человеческих ошибок при наборе текстов составляют перестановки соседних символов, пропуск символа, добавление нового символа, и ошибка в символе. Поэтому метрика Дамерау-Левенштейна часто используется в редакторских программах для проверки правописания).  ==Упрощённый алгоритм==Не решает задачу корректно, но бывает полезен на практике. Здесь и далее будем использовать следующие обозначения: <tex>S</tex> и <tex>T</tex> {{---}} строки, между которыми требуется найти расстояние Дамерау-Левенштейна; <tex>M</tex> и <tex>N</tex> {{---}} их длины соответственно. Рассмотрим алгоритм, отличающийся от алгоритма поиска расстояния Левенштейна одной проверкой (храним матрицу <tex>D</tex>, где <tex>D(i, j)</tex> — расстояние между префиксами строк: первыми <tex>i</tex> символами строки <tex>S</tex> и первыми <tex>j</tex> символами строки <tex>T</tex>). Рекуррентное соотношение имеет вид: Ответ на задачу {{---}} <tex>D(M,N)</tex> , где <tex>D(i, j) = \left\{\begin{array}{lllc}\min{(A, D(i - 2, j - 2) + transposeCost)}&&;\ i > 1,\ j > 1,\ S[i] = T[j - 1],\ S[i - 1] = T[j]\\A&&;\ \text{otherwise}\\\end{array}\right.</tex> <tex>A = \left\{\begin{array}{llcl}0&;\ i = 0,\ j = 0\\i * deleteCost&;\ j = 0,\ i > 0\\j * insertCost&;\ i = 0,\ j > 0\\D(i - 1, j - 1)&;\ S[i] = T[j]\\\min{(}\\\begin{array}{llcl}&D(i, j - 1) + insertCost\\&D(i -1, j) + deleteCost&&\\&D(i -1, j -1) + replaceCost\\\end{array}&;\ j > 0,\ i > 0,\ S[i] \ne T[j]\\)\end{array} \right.</tex> Таким образом для получения ответа необходимо заполнить матрицу <tex>D</tex>, пользуясь рекуррентным соотношением.Сложность алгоритма: <tex>O\left (M \cdot N \right )</tex>. Затраты памяти: <tex>O\left (M \cdot N \right)</tex>. Псевдокод алгоритма:  '''int''' DamerauLevenshteinDistance(S: '''char[1..M]''', T: '''char[1..N]'''; deleteCost, insertCost, replaceCost, transposeCost: '''int'''): d: '''int[0..M][0..N]''' ''<font color=green>// База динамики</font>'' d[0][0] = 0 '''for''' i = 1 '''to''' M d[i][0] = d[i - 1][0] + deleteCost '''for''' j = 1 '''to''' N d[0][j] = d[0][j - 1] + insertCost '''for''' i = 1 '''to''' M '''for''' j = 1 '''to''' N ''<font color=green>// Стоимость замены</font>'' '''if''' S[i] == T[j] d[i][j] = d[i - 1][j - 1] '''else''' d[i][j] = d[i - 1][j - 1] + replaceCost d[i][j] = min( d[i][j], ''<font color=green>// замена</font>'' d[i - 1][j ] + deleteCost, ''<font color=green>// удаление</font>'' d[i ][j - 1] + insertCost ''<font color=green>// вставка</font>'' ) '''if'''(i > 1 '''and''' j > 1 '''and''' S[i] == T[j - 1] '''and''' S[i - 1] == T[j]) d[i][j] = min( d[i][j], d[i - 2][j - 2] + transposeCost ''<font color=green>// транспозиция</font>'' ) '''return''' d[M][N] Контрпример: <tex>S =</tex> <tex>'CA'</tex> и <tex>T =</tex> <tex>'ABC'</tex>. Расстояние Дамерау-Левенштейна между строками равно <tex>2\ (CA \rightarrow AC \rightarrow ABC)</tex>, однако функция приведённая выше возвратит <tex>3</tex>. Дело в том, что использование этого упрощённого алгоритма накладывает ограничение: любая подстрока может быть редактирована не более одного раза. Поэтому переход <tex>AC \rightarrow ABC</tex> невозможен, и последовательность действий такая: <tex>(CA \rightarrow A \rightarrow AB \rightarrow ABC)</tex>. Упрощенный алгоритм Дамерау-Левенштейна не является метрикой, так как не выполняется правило треугольника: <tex>\mathtt{DLD}('CA',\ 'AC') + \mathtt{DLD}('AC',\ 'ABC') \ngeqslant \mathtt{DLD}('CA',\ 'ABC')</tex>. Условие многих практических задач не предполагает многократного редактирования подстрок, поэтому часто достаточно упрощённого алгоритма. Ниже представлен более сложный алгоритм, который корректно решает задачу поиска расстояния Дамерау-Левенштейна. ==Корректный алгоритм==В основу алгоритма положена идея [[Динамическое программирование#.D0.9F.D1.80.D0.B8.D0.BD.D1.86.D0.B8.D0.BF_.D0.BE.D0.BF.D1.82.D0.B8.D0.BC.D0.B0.D0.BB.D1.8C.D0.BD.D0.BE.D1.81.D1.82.D0.B8_.D0.BD.D0.B0_.D0.BF.D1.80.D0.B5.D1.84.D0.B8.D0.BA.D1.81.D0.B5|динамического программирования по префиксу]]. Будем хранить матрицу <tex>D[0..M + 1][0..N + 1]</tex>, где <tex>D[i + 1][j + 1]</tex> {{---}} расстояние Дамерау-Левенштейна между префиксами строк <tex>S</tex> и <tex>T</tex>, длины префиксов {{---}} <tex>i</tex> и <tex>j</tex> соответственно. Для учёта транспозиции потребуется хранение следующей информации. Инвариант: <tex>\mathtt{lastPosition}[x]</tex> {{---}} индекс последнего вхождения <tex>x</tex> в <tex>S</tex>

Тогда если на очередной итерации внутреннего цикла положить: <tex>i' =\mathtt{lastPosition}[T[j]],\ j' =Практическое применение\mathtt{last}</tex>, то <tex>D(i, j) =\min{(A, D(i', j') + (i - i' - 1) \cdot deleteCost + transposeCost + (j - j' - 1) \cdot insertCost)}</tex> <tex>(*)</tex> , где <tex>A =\left\{\begin{array}{llcl}0&;\ i = 0,\ j = 0\\i * deleteCost&;\ j = 0,\ i > 0\\j * insertCost&;\ i = 0,\ j > 0\\D(i - 1, j - 1)&;\ S[i] = T[j]\\\min{(}\\\begin{array}{llcl}&D(i, j - 1) + insertCost\\&D(i - 1, j) + deleteCost&&\\&D(i - 1, j - 1) + replaceCost\\\end{array}&;\ j > 0,\ i > 0,\ S[i] \ne T[j]\\)\end{array}\right.</tex>

==Описание алгоритма==Метод динамического программирования позволяет найти расстояние Дамерау Доказательства требует лишь формула <tex>(*)</tex>, смысл которой {{---}} Левенштейна между двумя строками сравнение стоимости перехода без использования транспозиции <tex>S(A)</tex> со стоимостью перехода, включающего в число операций транспозицию; остальные формулы обосновываются так же, как и <tex>T</tex>в доказательстве [[Задача о редакционном расстоянии, алгоритм Вагнера-Фишера|алгоритма Вагнера-Фишера]]. Но действительно, длины которых равны соответственно <tex>m</tex> и <tex>n</tex>при редактировании подпоследовательности несколько раз всегда существует оптимальная последовательность операций одного из двух видов:*Переставить местами соседние символы, затратив сравнительно небольшое затем вставить некоторое количество вычислительных ресурсовсимволов между ними;*Удалить некоторое количество символов, а затем переставить местами символы, ставшие соседними.

Простая модификация алгоритма поиска Тогда если символ <tex>S[i]</tex> встречался в <tex>T[1]..T[j]</tex> на позиции <tex>j'</tex>, а символ <tex>T[j]</tex> встречался в <tex>S[1]..S[i]</tex> на позиции <tex>i'</tex>; то <tex>T[1]..T[j]</tex> может быть получена из <tex>S[1]..S[i]</tex> удалением символов <tex>S[i' + 1]..S[Задача о редакционном расстоянииi - 1]</tex>, алгоритм Левенштейна| расстояния Левенштейнатранспозицией ставших соседними <tex>S[i']</tex> и <tex>S[i]</tex> и вставкой символов <tex>T[j' + 1]..T[j - 1] не приводит к цели:</tex>. Суммарно на это будет затрачено <tex>D(i', j') + (i - i' - 1) \cdot deleteCost + transposeCost + (j - j' - 1) \cdot insertCost</tex> операций, что описано в <tex>(*)</tex>. Поэтому мы выбирали оптимальную последовательность операций, рассмотрев случай с транспозицией и без неё.

Рассмотрим более сложный алгоритмСложность алгоритма: <tex>O\left (M \cdot N \cdot \max{(M, который корректно решает задачу поиска расстояния Дамерау {{---N)}} Левенштейна\right )</tex>. Затраты памяти: <tex>O\left (M \cdot N \right)</tex>. Однако скорость работы алгоритма может быть улучшена до <tex>O\left (M \cdot N \right)</tex>. Псевдокод алгоритма:

'''int''' DamerauLevenshteinDistance(S: '''char[1..M]''', T: '''char[1..N]'''; deleteCost, insertCost, replaceCost, transposeCost: '''int'''): ''<font color=green>// Обработка крайних случаев</font>'' '''if''' (S =Оценка сложности="") '''if''' (T == "") '''return''' 0 '''else''' '''return''' N '''else''' '''if''' (T == "") '''return''' M D: '''int[0..M + 1][0..N + 1]''' ''<font color=green>// Динамика</font>'' INF = (M + N) * max(deleteCost, insertCost, replaceCost, transposeCost) ''<font color=green>// Большая константа</font>'' ''<font color=green>// База индукции</font>'' D[0][0] = INF '''for''' i = 0 '''to''' M D[i + 1][1] = i * deleteCost D[i + 1][0] = INF '''for''' j = 0 '''to''' N D[1][j + 1] = j * insertCost D[0][j + 1] = INF lastPosition: '''int[0..количество различных символов в S и T]''' ''<font color=green>//для каждого элемента C алфавита задано значение lastPosition[C]</font>'' '''foreach''' ('''char''' Letter '''in''' (S + T)) lastPosition[Letter] = 0 '''for''' i = 1 '''to''' M last = 0 '''for''' j = 1 '''to''' N i' = lastPosition[T[j]] j' = last '''if''' S[i] == T[j] D[i + 1][j + 1] = D[i][j] last = j '''else''' D[i + 1][j + 1] = min(D[i][j] + replaceCost, D[i + 1][j] + insertCost, D[i][j + 1] + deleteCost) D[i + 1][j + 1] = min(D[i + 1][j + 1], D[i'][j'] + (i - i' - 1) <tex>\cdot</tex> deleteCost + transposeCost + (j - j' - 1) <tex>\cdot</tex> insertCost) lastPosition[S[i]] = i '''return''' D[M][N]

*[[Задача о редакционном расстояниинаибольшей общей подпоследовательности]]*[[Задача о выводе в контекстно-свободной грамматике, алгоритм ЛевенштейнаКока-Янгера-Касами]]*[[Динамическое программирование по профилю]]

==CсылкиИсточники информации==*[http://en.wikipedia.org/wiki/Damerau–Levenshtein_distance статья на английской ВикипедииWikipedia {{---}} Damerau-Levenshtein distance]*[http://ru.wikipedia.org/wiki/Расстояние_Дамерау_—_Левенштейна Википедия {{---}} Расстояние Дамерау-Левенштейна]*[http://habrahabr.ru/blogs/algorithm/114997/ Хабрахабр {{---}} Нечёткий поиск в тексте и словаре (Хабрахабр)]* Томас Х. Кормен, Чарльз И. Лейзерсон, Рональд Л. Ривест, Клиффорд Штайн Алгоритмы: построение и анализ — 3-е изд. — М.: «Вильямс», 2013. — с. 440. — ISBN 978-5-8459-1794-2