Изменения
Нет описания правки
* Доказательства тождеств с последовательностями;
* Решения задачи подсчета объектов в комбинаторике. Например, в доказательстве [[Нахождение количества разбиений числа на слагаемые|пентагональной теоремы]] или в задаче нахождения количества расстановок m ладей на доске n × n;
* Вычисления бесконечных сумм. == Примеры производящих функций ==Рассмотрим последовательность <tex>a_n</tex>, каждый элемент <tex>a_i</tex> которой равен количеству комбинаторных объектов некоторого типа размера <tex>i</tex>. И покажем как выглядит производящая функция этой последовательности: * <tex>\prod_{n=1}^\infty (1-x^n)</tex> {{---}} производящая функция для разности количества разбиений числа n в четное и нечетное число различных слагаемых. Например коэффициент при <tex>x^5</tex> +1, потому-что существует два разбиение на четное число различных слагаемых (4+1; 3+2) и одно на нечетное (5). Правильность этого легко осознать, если понять, что каждая скобка представляет какое-то слагаемое и мы можем его взять (второе слагаемое {{---}} <tex>-x^k</tex>) или не взять (первое {{---}} 1). Эта производящая функция используется в комбинаторном доказательстве пентагональной теоремы.
== Решение рекуррентных соотношений ==
Пусть последовательность <tex>(a_0, a_1, a_2, ...)</tex> удовлетворяет некоторому рекуррентному соотношению. Мы хотим получить выражение для <tex>a_n</tex> (при <tex>n \ge 0</tex>) в замкнутом виде (то есть выразив лишь через номер члена последовательности).
