74
правки
Изменения
Нет описания правки
== Основные определения ==
{{Определение
|definition =
[[Бинарное отношение]] <tex>R</tex> на множестве <tex>X</tex> называется '''антисимметричным''', если для любых элементов <tex>a</tex> и <tex>b</tex> множества <tex>X</tex> из выполнения отношений <tex>(aRb)</tex> и <tex>(bRa)</tex> следует равенство <tex>a</tex> и <tex>b</tex>.
}}
:<tex>\forall a, b \in X,\ R(a,b) aRb \wedge R(b,a) bRa \; \Rightarrow \; a = b</tex>
Или эквивалентное
{{Определение
|definition =
Бинарное отношение <tex>R</tex> на множестве <tex>X</tex> называется '''антисимметричным''', если для любых неравных элементов <tex>a</tex> и <tex>b</tex> множества <tex>X</tex> из выполнения отношения <tex>(aRb)</tex> следует невыполнение отношения <tex>(bRa)</tex>.
}}
:<tex>\forall a, b \in X,\ R(a,b) aRb \wedge a \ne b \Rightarrow \lnot R(b,a)bRa</tex>
Определение антисимметричного отношения как <tex> (aRb) \Rightarrow \neg(bRa) </tex> является избыточным (и потому неверным), поскольку из такого определения также следует [[Рефлексивное_отношение| антирефлексивность]] R.
Антисимметричность отношения не исключает симметричности. Существуют бинарные отношения:
*антисимметричные, но не симметричные ("меньше или равно", "больше или равно");
Антирефлексивное антисимметричное отношение иногда называют асимметричным. Следует различать антисимметричное и асимметричное бинарные отношенияэти два понятия.Формальное определение:
{{Определение
|definition =
[[Бинарное отношение]] <tex>R</tex> на множестве <tex>X</tex> называется '''асимметричным''', если для любых элементов <tex>a</tex> и <tex>b</tex> множества <tex>X</tex> одновременное выполнение отношений <tex>a R b</tex> и <tex>b R a</tex> невозможно.
}}
== Примеры антисимметричных отношений ==
#<tex>a^{-1}</tex>
#<tex>b^{-1}</tex>
Однако объединение и композиция <tex>a</tex> и <tex>b</tex> может могут не сохранять антирефлексивностиантисимметричности.
==См. также==
