Изменения

== Алгоритм масштабирования потока — алгоритм поиска максимального потока путём регулирования пропускной способности рёбер==Пусть дана [[Определение_сети,_потока#.Этот алгоритм работает в предположенииD0.9E.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D1.81.D0.B5.D1.82.D0.B8|сеть]] <tex> G </tex>, что все пропускные способности рёбер целыерёбра которой имеют целочисленную [[Определение_сети,_потока#.D0.9E.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D1.81.D0.B5.D1.82.D0.B8|пропускную способность]]. Обозначим за <tex> U </tex> максимальную пропускную способность: <tex> U = \max\limits_{(u, v) \in E} c(u, так как они легко представимы в двоичном видеv) </tex>.

== Идея ==Идея алгоритма заключается в нахождении путей с высокой пропускной способностью в первую очередь, чтобы сразу сильно увеличивать [[Определение_сети,_потока#.D0.9E.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D0.BF.D0.BE.D1.82.D0.BE.D0.BA.D0.B0|поток ]] по ним, а затем по всем остальным. Для этого воспользуемся масштабом <tex> \Delta </tex>. Изначально положим <tex> \Delta = 2^{\lfloor \log_2 U \rfloor} </tex>.

Пусть На каждой итерации в [[Дополняющая_сеть,_дополняющий_путь|дополняющей сети]] алгоритм находит [[Дополняющая_сеть,_дополняющий_путь|дополняющие пути]] с пропускной способностью не меньшей <tex> G \Delta </tex> — граф, и увеличивает поток вдоль них.Уменьшив масштаб <tex> \forall(u, v) \in EG \colon c(u,v) \in \mathbb{Z_+}, U = \max\limits_{(u, v) \in EG} c(u, v) Delta </tex> — максимальная пропускная способность. Запишем пропускную способность каждого ребра в двоичном виде. Тогда каждое число будет занимать <tex> \lfloor \log_2 U \rfloor + 1 = n + 1 2 </tex> битраза, переходит к следующей итерации.

Очевидно, что при <tex> c(u, v) = \sum\limits_{i Delta = 0}^n a_i(u, v) 2^n, a_i(u, v) \in {0, 1} </tex>алгоритм вырождается в алгоритм [[Алоритм_Эдмондса-Карпа|Эдмондса-Карпа]], вследствие чего является корректным.

Методом Форда-Фалкерсона находим поток <tex> f_0 </tex> для графа Количество необходимых увеличений путей, основанных на кратчайших путях, может быть много больше количества увеличений, основанных на путях с урезанными пропускными способностями <tex> c_0(u, v) высокой пропускной способностью.{|border="0" cellpadding="5" width=30% align= a_n(u, v) </tex>center|[[Файл:Flow_scale_1.png|550px|thumb|center|Выбор дополняющих путей в порядке длины]]Добавим следующий бит и находим следующее приближение для графа |[[Файл:Flow_scale_2.png|550px|thumb|center|Выбор пути с новыми пропускными способностями <tex> c_1(u, v) = 2 a_n(u, v) + a_{n - 1высокой пропускной способностью в первую очередь]]|}(u, v) - 2 f_0(u, v) </tex>.

После == Оценка времени работы =={{Лемма|about=1|statement=Максимальный поток в сети <tex> G </tex> ограничен сверху значением <tex> n |f_k| + 1 2^k E </tex>, где <tex> |f_k| </tex> {{---}} значение потока при масштабе <tex> \Delta = 2^k </tex>.|proof=[[Файл:Flow_scale_3.png|530px|thumb|right|Разрез <tex> C_k </tex> ]] В конце итерации получим ответ к задачес масштабом <tex> \Delta = 2^k </tex>, сеть <tex> G_{f_k} </tex> может быть разбита на два непересекающихся множества <tex> A_k </tex> и <tex> \overline{A_k} </tex> так как после с каждым шагом приближение становится точнее, что остаточная пропускная способность каждого ребра, идущего из <tex> A_k </tex> в <tex> \overline{A_k} </tex>, не превосходит масштаба <tex> \Delta </tex>. То есть образуется [[Разрез,_лемма_о_потоке_через_разрез|разрез]] <tex> C_k = \langle A_k, \overline{A_k} \rangle </tex>. При этом, количество таких рёбер не превосходит <tex> E </tex>.Значит, значение остаточного потока не может превосходить <tex> \Delta E = 2^k E </tex>.}}

{{Лемма|about=2|statement= Оценка сложности =Суммарное количество увеличивающих путей {{---}} <tex> O(E \log U) </tex>.|proof=На некоторой итерации алгоритма каждый дополняющий путь имеет пропускную способность не меньше <tex> 2^k </tex>.Дополняющий поток на предыдущем шаге ограничен значением <tex> 2^{k + 1} E </tex>. Следовательно, на каждой итерации количество дополняющих путей не превосходит <tex> 2E </tex>.}}

Время работы алгоритма — {{---}} <tex> O(E^2 \log U) </tex>.

[[Файл:Scaling.jpg|right]]На каждом шаге алгоритм выполняет в худшем случае <tex>O(E)</tex> увеличений потока. Докажем это. Пусть В ходе выполнения алгоритма масштаб <tex>\Delta = 2^k</tex>. В конце шага множество вершин графа можно разбить на две частипринимает следующие значения: <tex>A_k</tex> и <tex>S = \overline{A_k2^{\lfloor \log_2 U \rfloor}</tex>. Все рёбра, выходящие из <tex>A_k</tex>\ldots, имеют остаточную пропускную способность менее <tex>2^k, \ldots, 2, 1, 0\} </tex>. Наибольшее количество рёбер между Тогда <tex>A_k|S| = O(\log U) </tex> и <tex>\overline{A_k{---}} количество итераций алгоритма. Количество итераций алгоритма {{---}}</tex> равно <tex>E</tex>. Следовательно, остаточный поток O(поток, который может быть получен на оставшихся шагах\log U) на фазе с текущим значением <tex>k</tex> максимально составляет <tex>2^kE</tex>. Каждый увеличивающий путь при данном <tex>k</tex> имеет пропускную способность как минимум <tex>2^k</tex>. На предыдущем шаге, с масштабом <tex>k+1</tex>значит, остаточный поток ограничен <tex>2^суммарное количество увеличивающих путей {{k+1---}}E</tex>. Значит максимальное число появившихся увеличивающих путей равно <tex>2E</tex>. Увеличивающий путь можно найти за <tex>O(E\log U)</tex>, используя . Алгоритм [[Обход_в_ширину | BFSобхода в ширину]]. Количество шагов находит каждый дополняющий путь за время <tex>O(\log_2UE)</tex>. Итоговая сложность Следовательно, суммарное время работы алгоритма {{---}} <tex>O(E^2\log_2Ulog U)</tex>.}}

'''Capacity-Scalingfunction''' maxFlowByScaling(G: '''graph''', s: '''int''', t: '''int'''): '''int''' '''int''' flow = 0 <texfont color=darkgreen> f \leftarrow 0 // поток в сети </texfont> '''int''' scale = <tex> \Delta \leftarrow 2^{\lfloor \log_2 U log_2U\rfloor}</tex> <font color=darkgreen> // текущий минимальный размер потока, который пытаемся пустить </font> '''while''' scale <tex> \Delta >0geqslant </tex>1 '''do''' '''while''' в <tex>G_f</tex> существует увеличивающий путь <tex>s-tp </tex> путь с пропускной способностью большей <tex>\Delta</tex>не меньше, чем scale '''doint''' <tex>P\leftarrow</tex> путь с пропускной способностью большей minCapacity = <tex>\Delta</tex> <tex>\delta\leftarrow\min\{c_{ij}c(u, v) \colon(iu,jv)\in Pp\}</tex> <font color=darkgreen> // минимальная пропускная способность в увеличивающем пути </font> увеличить поток по рёбрам <tex>Pp </tex> на <tex>\delta</tex>minCapacity обновить <tex>G_f</tex> <tex>f\leftarrow f flow = flow +\delta</tex>minCapacity <tex>\Delta\leftarrow\Delta scale = scale /2</tex> '''return''' flow

== Литература См. также ==* [[Определение_сети,_потока|Определение сети, потока]]* [[Алоритм_Эдмондса-Карпа|Алоритм Эдмондса-Карпа]]* [[Алгоритм_Форда-Фалкерсона,_реализация_с_помощью_поиска_в_глубину|Алгоритм Форда-Фалкерсона]] == Источники информации ==

* [http://wwwlogic.cs-seminarpdmi.spbras.ru/reportsics/34talks/21stream.pdf ''Андрей Станкевич'': Задача о максимальном потоке]* [https://youtu.be/sEwp5ZAJJps?t=18m9s ''Андрей Станкевич'': Лекториум, дополнительные главы алгоритмов, лекция 12] [[Категория: Алгоритмы и структуры данных]][[Категория: Задача о максимальном потоке]]