== Свойства ==
* {{Утверждение|statement=Для любых двух перестановок <tex>\sigma, \pi</tex> их матрицы обладают свойством:*: <center><tex>P_\sigma P_\pi = P_{\sigma \circ \pi}</tex> , </center> где <tex>\circ</tex> - операция [[Умножение перестановок, обратная перестановка, группа перестановок| умножения двух перестановок]]|proof=Доказательство: Рассмотрим <tex>{(P_\sigma P_\pi)}_{i,j} = \sum\limits_{k = 1}^{n}{({P_\sigma}_{i,k} {P_\pi}_{k,j})}</tex>эта сумма может быть равна нулю или единице, причем единице в том случае, если в <tex>i</tex> - той строчке на <tex>k</tex> - том столбце матрицы <tex>P_\sigma</tex> и в <tex>k</tex> - той строчке на <tex>j</tex> - том столбце матрицы <tex>P_\pi</tex> стоят единицы. <tex>{P_\sigma}_{i,k} = 1</tex> значит, что в перестановке <tex>\sigma</tex> на <tex>i</tex> - том месте стоит элемент <tex>k</tex>, и <tex>{P_\pi}_{k,j} = 1</tex> означает что в перестановке <tex>\pi</tex> на <tex>k</tex> - том месте стоит элемент <tex>j</tex>, а <tex>{(P_\sigma P_\pi)}_{i,j} = 1</tex> означает что в перестановке, которой соответствует эта матрица, так же на <tex>i</tex> - том месте стоит элемент <tex>j</tex>. Но также известно, что если умножить перестановку <tex>\sigma</tex>, где на <tex>i</tex> - том месте стоит элемент <tex>k</tex>, на перестановку <tex>\pi</tex>, где на <tex>k</tex> - том месте стоит элемент <tex>j</tex>, то в полученной перестановке <tex>{\sigma \circ \pi}</tex> на <tex>i</tex> - том месте будет стоять элемент <tex>j</tex>.}} // разработка
* Для любой матрицы перестановок существует обратная:
*: <tex>P_\sigma^{-1} = P_\sigma^T</tex> , где <tex>P^T</tex> - транспонированная матрица <tex>P</tex>
* Для любой матрицы перестановок <tex>P</tex> справедливо:
*: <tex>P^T P = P P^T = E</tex> , где <tex>E</tex> - единичная матрица
* Произведение матриц перестановок есть матрица перестановок
* Матрица перестановок <tex>n</tex>-го порядка может быть представлена в виде произведения <tex>(n - 1)</tex> элементарных матриц перестановок
* Квадрат элементарной матрицы перестановок есть единичная матрица
* Умножение произвольной матрицы <tex>M</tex> на перестановочную соответственно меняет местами её столбцы.
* Умножение перестановочной матрицы на произвольную <tex>M</tex> меняет местами строки в <tex>M</tex>.
