1679
правок
Изменения
тех будет потом
Это утверждение позволяет стандартным образом доказать теорему.
Базовым случаем будет тот, когда дело сводится к суммам Лебега-Дарбу.
f — ограниченная функция, E — измеримое множество конечной меры.
f — измерима \Rightarrow интеграл Лебега существует.
\exists \int\limits_E f d \lambda_n
\tau‘ E = \bigcup\limits_{\tau=1}^p e_\tau — дизъюнктны(какой-то треш)
m_\tau = \inf\limits_{e_\tau} f(x), M_\tau = \sup\limits_{e_\tau} f(x)
\underline s (\tau) = \sum\limits_{?=1}^p e_\tau m_\tau \lambda_n e_\tau
\underline G (\tau) = \bigcup\limits_{?=1}^p \lambda_{n+1} \underline G_\tau = \sum\limits_{?=1}^p m_? \lambda_n e_? = \underline{CHTO ETO ZA BUKVA????} (\tau)
Итак, \lambda_{n+1} \underline G(\tau) = \underline s(\tau)
В силу определения m_? ясно, что \underline G(\tau) \subset G(f) — подграфик.
Аналогично с M_? : G(f) \subset \overline G(\tau)
\lambda_{n+1} \overline G(\tau) - \lambda_{n+1} \underline G(\tau) = \overline s(\tau) - \underline s (\tau) — сколь угодно мала в силу существования интеграла за счет выбора разбиения \tau.
По критерию \mu^*-измеримости подграфик оказывается измеримым и \underline s(\tau) \le \lambda_{n+1} G(f) \le \overline s(\tau) = \lambda_{n+1} \overline G(\tau)
В этом неравенстве разбиение — любое. Между парой сумм Лебега-Дарбу можно вставить только интеграл, значит, \lambda_{n+1} G(f) = \int\limits_E f d \lambda_n. Базовый случай разобран.
Далее разбор случаев:
1) \lambda_n E = + \infty. E_m (стрелка вверх o_O). \lambda_n E_m < + \infty. E = \bigcup\limits_m E_m — по сигма-конечности меры. f — ограничена на E. G_m (стрелка вверх) — подграфик f пшшш. \bigcup\limits_m G_m = G — измерима.
\lambda_{n+1} G = \lim \lambda_{n+1} G_m = \lim\limits_m \int\limits_{E_m} f d \lambda_n. Формула доказана.
2) Если f не ограничена на E произв. меры, то выстраиваем так называемые срезки:
f_m(x) = \begin{cases} f(x), & f(x) \le m \\ m, & f(x) > m \end{cases}
f_m(x) — измеримая, f_m(x) \to (m \to \infty) f(x)
f_m(x) — возрастает, f_m(x) \le f_{m+1} (x)
По теореме Леви:
\int\limits_E f_m d \lambda_n \to \int\limits_E f d \lambda_n
G_m — подграфик срезки f_m
срезки — функция ограниченная. \int\limits_E f_m d \lambda_n = \lambda_{n+1} G_m \to \int\limits_E f d \lambda_n; с другой стороны f_n \to f, G_m (стрелка вверх), \bigcup\limits_m G_m = G — подграфик измерим и по сигма-аддитивности \lambda_{n+1} G = \lim\limits_m \lambda_m \lambda_{n+1} G_m = \int\limits_E f d \lambda_n. Формула выведена в общем случае.
}}
