Изменения
Нет описания правки
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>N = (V,E,s,t,c)</tex> - [[Определение сети, потока|сеть ]] с целочисленными пропускными способностями.
Обозначим <tex>C</tex> и <tex>F</tex>, как максимальная пропускная способность ребра и максимальный поток соответсвенно.
<tex>P = \sum\limits_{v \in V, v \neq s,t}p(v)</tex>.
[[Дополняющая сеть, дополняющий путь|Остаточную сеть ]] обозначим <tex>N(f)</tex>.Обозначим длину [[Схема алгоритма Диница|слоистой сети ]] <tex>l</tex> - как длину кратчайшего <tex>s-t</tex> пути в <tex>N(f)</tex>.
}}
==Теоремы==
Пусть <tex>l</tex> - расстояние между <tex>s</tex> и <tex>t</tex>, а <tex>V_i</tex> - набор вершин, удаленных от <tex>s</tex> на <tex>i</tex> <tex>(i \leq l)</tex>.
<tex>V_i</tex> - разъединяющее множество узлов: при его удалении исчезают все пути из <tex>s</tex> в <tex>t</tex>.
Следуя правилу [[Определение сети, потока|сохранения потока]], если <tex>f</tex> обозначить как любой допустимый поток, то <tex>|f|</tex> единиц потока должно проходить через <tex>V_i</tex>.
Но суммарное количество потока, которое может проходить через любую вершину не превосходит ее потенциала.
Отсюда, если обозначить <tex>P_i</tex> как общий потенциал вершин из <tex>V_i</tex>, то мы имеем:
|id=th1.
|about=Первая теорема Карзанова
|statement=Число итераций [[Схема алгоритма Диница |алгоритма Диница]] в сети <tex>N</tex> (<tex>s</tex> — исток, <tex>t</tex> — сток) с целочисленными пропускными способностями — <tex>O(\sqrt{P})</tex>.
|proof=
Пусть <tex>F</tex> - максимальный поток в сети <tex>N</tex>. Теорема верна для <tex>F \leq \sqrt{P}</tex>, так как после каждой фазы поток увеличивается хотя бы на 1. Если <tex>F > \sqrt{P}</tex>, рассмотрим последнюю фазу, на момент начала выполнения которой поток в сети был меньше, чем <tex>F - \sqrt{P}</tex>. После этого потребуется не больше <tex>\sqrt{P}</tex> фаз, чтобы найти максимальный поток. На предыдущей фазе поток (<tex>f</tex>) в <tex>N</tex> был не больше <tex>F-\sqrt{P}</tex>, таким образом <tex>F-|f| \leq \sqrt{P}</tex>.
|about = 3
|statement=
Пусть в сети <tex>N</tex> нет [[Основные определения теории графов#def1|параллельных ребер]]. <tex>f</tex> - поток в <tex>N</tex>, а <tex>F</tex> - максимальный поток в <tex>N(f)</tex>. Тогда расстояние <tex>l</tex> между <tex>s</tex> и <tex>t</tex> в <tex>N(f)</tex> таково: <tex>l \leq |V|\sqrt{\frac{2C}{F}} - 1</tex>.
|proof=
Как и раньше, обозначим <tex>V_i</tex> как набор вершин на расстоянии <tex>i</tex> от <tex>s</tex>. Множества <tex>X = \bigcup_{i = 0}^k V_i</tex> и <tex>Y = V - X</tex> определяют разрез <tex>(X, Y)</tex>. Пропускная способность этого разреза не больше <tex>2C|V_k||V_{k + 1}|</tex>, так как все ребра между <tex>X</tex> и <tex>Y</tex> также являются ребрами между <tex>V_k</tex> и <tex>V_{k+1}</tex> и не более чем двумя параллельными ребрами, исходящими из какой-то вершины в остаточной сети. По теореме о максимальном потоке/минимальном разрезе, <tex>F \leq 2C|V_k||V_{k+1}|</tex>.
