Изменения

{{TODO|t=ВАКАНСИЯ: ВНИМАТЕЛЬНЫЙ ЧИТАТЕЛЬДалее, для краткости, «определённый интеграл Лебега» будет означать интеграл Лебега от ограниченной измеримой функции по множеству конечной меры. НУЖЕН, ЧТОБЫ ОЗНАКОМИТЬСЯ С ЭТИМ ТЕКСТОМ И ИСПРАВИТЬ КОСЯКИ}}

ДалееУчитывая, для краткостичто <tex>m \leq f(x) \leq M</tex> и <tex>\mu e \geq 0</tex>, «определённый интеграл Лебега» <tex>\mu E = «интеграл Лебега от ограниченной измеримой функции по множеству конечной меры»\sum\limits_{i=1}^n \mu e_i </tex>, имеем набор неравенств <tex> m\mu E \leq \underline{s}(\tau) \leq \underline{L} \leq \overline{L} \leq \overline{s}(\tau) \leq M\mu E</tex>.

То есть, <tex>m \leq f(x) mu E \leq M</tex>, то, так как <tex>\mu e \geq 0</tex>, <tex>\mu E = \sumint\limits_{i=1}^n \mu e_i \Rightarrow m\mu E \leq \underline{s}f(\taux) d\leq \underline{L} \leq \overline{L} \leq \overline{s}(\tau) mu \leq M\mu E</tex>.

То естьЕсли <tex>f(x) = c </tex>, то <tex>m \underline{s} = \overline{s} = c\mu E \leq </tex>, и интеграл от постоянной {{---}} <tex>\int\limits_{E} f(x) dlimits_E cd\mu \leq M = c\mu E</tex>.

Если <tex>f(x) = c \Rightarrow \underline{s} = \overline{s} = c\mu E</tex> Интеграл неотрицательна, то интеграл от постоянной {{---}} <tex>\int\limits_E cd\mu = c\mu E</tex> {{Утверждение|statement=Интеграл неотрицательной функции нее тоже неотрицателен}}.

|statement=Пусть существует <tex>\exists \int\limits_E fd\mu</tex>, <tex>E = \bigcup\limits_n E_n</tex> {{---}} измеримы и дизъюнктны. Тогда <tex> \int\limits_E fd\mu = \sum\limits_n \int\limits_{E_n} fd\mu </tex>.

<tex>E = \bigcup\limits_{n=1}^p e_n</tex>(случай конечного объединения множеств). Ясно, что, в силу индукции достаточно рассмотреть <tex>p=2</tex>: <tex>\int\limits_E fd\mu = \int\limits_{E_1}fd\mu+\int\limits_{E_2}fd\mu</tex>. Дальнейшее доказательство делается тривиальной индукцией по числу множеств.

По пункту 1, <tex>\int\limits_E= \sum\limits_{n=1}^p\int\limits_{E_n} + \int\limits_{B_p}</tex>

<tex>\mu E = \sum\limits_{n=1}^\infty E_n</tex>.

Так как остаток сходящегося числового ряда стремится к нулю, <tex>\mu B_p \to 0</tex>.

Тогда, так как <tex>\left|\int\limits_{B_p}\right| \leq \mu B_p \cdot M</tex>, <tex>\int\limits_{B_p} \xrightarrow[p\to 0\infty]{} 0</tex>.

Тогда, при <tex>p\to\infty</tex>, <tex>\int\limits_{E} = \sum\limits_{n=1}^p + \int\limits_{B_p}</tex>. В пределе {{---}} нужная функция, что нам и требовалось.

|statement=Пусть <tex>\exists\int\limits_E f(x)dfd\mu, \int\limits_E g(x)dgd\mu</tex>, <tex>\mu E(f\ne g) = 0</tex>. Тогда <tex>\int\limits_E fd\mu = \int\limits_E gd\mu</tex>

<tex>E_2 = E \setminus E_1</tex>. <tex>E</tex> разбито на две дизъюнктных части. ,  <tex>\int\limits_E fd\mu = \int\limits_{E_1} fd\mu + \int\limits_{E_2}fd\mu</tex>, <tex>\mu E_1 = 0 \Rightarrow \int\limits_{E_1} fd\mu = \int\limits_{E_1} gd\mu = 0 </tex>.

<tex>\int\limits_E fd\mu = \int\limits_{E_2} fd\mu = \int\limits_{E_1}gd\mu [=0] + \int\limits_{E_2}fd\mu = \\\int\limits_{E_1}gd\mu 0 + \int\limits_{E_2}gd\mu [\forall x \in E_2 : f(x) = g(x)] = \\ \int\limits_E gd\mu</tex>.

Если вернуться к <tex>f = \begin{cases}0, & x \in \mathbb{Q}\\1, & x \notin \mathbb{Q}\end{cases}</tex> и <tex>g = 1</tex>, то, так как <tex>\lambda\mathbb{Q} f = 0</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\lambda E(f\ne g) = 0</tex> <tex>\Rightarrow</tex> везде, кроме нульмерного множества, то <tex>\int\limits_{[0;1]} fd\mu = \int\limits_{0;1}1d\mu = 1</tex>.

Теперь установим так называемую линейность интеграла:

|statement=Пусть <tex>\exists\int f, \int g</tex>, <tex>\alpha, \beta \in \mathbb{R}</tex>. Тогда <tex>\alpha\int\limits_E fd\mu + \beta\int\limits_E gd\mu = \int\limits_E(\alpha f + \beta g)d\mu</tex>.|proof=Установим, что интеграл суммы равен сумме интегралов. То, что можно выносить множитель {{---}} , доказывается аналогично.

В <tex>\int\limits_E (f+g ) = \int\limits_E f + \int\limits_E g </tex>. Интеграл существуетвсе интегралы существуют, нужно только доказать, что его значение именно такоеравенство выполняется.

<tex>E = \bigcup\limits_{j=1}^p e_j</tex>, . <tex>m_j(f) = \infle f(x) \limits_{e_j} le M_j(f) </tex>; <tex> m_j(g) \le g(x) \le M_j(g) </tex>; Сложим эти неравенства:

Суммируем по <tex>j</tex>: <tex>\underline{s}(f) + \underline{s}(g) \leq \underline{s}(f+g) \leq \int\limits_Ef+g \intleq \limits_Eg</tex>, <tex>\int\limits_Eoverline{s}(f+g)\leq \overline{s}(f) + \overline{s}(g)</tex>.

<tex>\underline{s}(f) + \underline{s}(g) \leq \int\limits_Ef+\int\limits_Eg</tex>, <tex>\int\limits_E(f+g)\leq \overline{s}(f) + \overline{s}(g)</tex>. В силу определения интеграла от измеримой функции, <tex>\forall\varepsilon > 0 \exists \tau : \overline{s}(\tau, f) - \underline{s}(\tau, f)< \varepsilon</tex>.