689
правок
Изменения
м
Для Ранее для интеграла Римана было был получен результат: если <tex>f_n \rightrightarrows f </tex> на <tex>[a;b]</tex>, <tex>f_n \in \mathcal{R}(a, b)</tex>, следовательно,то<tex>f \in \mathcal{R}(a, b)</tex> . <br>
<tex>\int \limits_{-1}^{1} f_n = 1</tex>, <tex>f_n(k) \to 0</tex> почти всюду на <tex>[-1;1]</tex>
<tex>\int \limits_{-1}^{1} 0 = 0 </tex>, следовательно <tex>\lim \limits_{n \to \infty} \int \limits_{-1}^{1} \ne \int \limits_{-1}^{1} f</tex>
Пофиксил баги. By the way, учитывая последние правки, считаю должным напомнить всем, что лурочка находится по другому адресу.
{{В разработке}}
Равенство, подобное <tex> \lim \limits_{n \to \infty} \int \limits_{a}^{b} f_n = \int \limits_{a}^{b} f</tex>, называется
предельным переходом под знаком интеграла.
Рассмотрим пример :ЗДЕСЬ ДОЛЖНА БЫТЬ КАРТИНКА<tex>f_n = \begin{cases}n^2x+n, & x \in [-\frac1n; 0)\\ -n^2x+n, & x \in [0; \frac1n]\\ 0, & x \in [-1; 1] \setminus [-\frac1n; \frac1n] \end{cases}</tex>; <tex>\int \limits_{-1}^{1} f_n = 1</tex>, <tex>f_n(k) \to 0</tex> почти всюду на <tex>[-1;1]</tex>, но <tex>\int \limits_{-1}^{1} 0 = 0 </tex>. Следовательно, <tex>\lim \limits_{n \to \infty} \int \limits_{-1}^{1} f_n \ne \int \limits_{-1}^{1} f</tex>.
{{Теорема
|author=Лебег
|statement=Пусть <tex>\mu E < +\infty</tex>, <tex>f_n</tex>, <tex>f</tex> {{---}} измеримы на <tex>E</tex>,<tex>|f_n(x)| \le M</tex> (для <tex>\ \forall n = 1,2...</tex>) на <tex>E</tex>. Если <tex>f_n \rightrightarrows Rightarrow f</tex> на <tex>E</tex>, тогда <tex>\int \limits _{E} f_n \to \int \limits_{E} f</tex>.
|proof=
<tex>f_n \rightrightarrows Rightarrow f</tex> на <tex>E</tex>, тогда по теореме Риса <tex>f_{n,kn_k} \to f</tex> почти всюду на <tex>E</tex>, . <tex>|f_{n,kn_k}(x)| \le M</tex> при <tex>k \to \infty</tex>, <br><tex>|f(x)| \le M </tex>, следовательно , существует <tex> \int \limits_{E} f</tex>. <br>Осталось доказать предельное равенство. : Как обычно, <tex>\forall \varepsilon > 0</tex> <tex>E_{\varepsilon} = E(|f_n - f| \ge \varepsilon)</tex>, <tex>\bar{E_{\varepsilon}} = E \setminus E_{\varepsilon}</tex>,<br> <tex>|\int \limits_{E} f_n - \int \limits_{E} f| \le \int \limits_{E} |f_n - f| = \int \limits_{E_{\varepsilon}} + \int \limits_{\bar{E_{\varepsilon}}}</tex>, <tex>|f_n - f| \le 2M </tex>, следовательно, <tex> \int \limits_{E} |f_n - f| \le 2M \mu E_{\varepsilon}</tex>, . <tex>\int \limits_{E_{\varepsilon}}|f_n - f| = \int \limits_{E(f_n - f) < \ge \varepsilon} |f_n - f| \le \varepsilon \mu \bar{E_{\varepsilon}} \le \varepsilon \mu E</tex>,тогда <tex>|\int \limits_{E} f_n - \int \limits_{E} f| \le 2M \mu E_{\varepsilon} + \varepsilon\mu E</tex> <br>. В силу сходимости по мере , <tex>\mu E_{\varepsilon} \to 0</tex>, следовательно, начиная с некоторого <tex>N</tex>, <tex>|\int \limits_{E} f_n - \int \limits_{E} f| \le (2M+\mu E) \varepsilon</tex>. <br>
Так как <tex>\varepsilon \to 0</tex>, то теорема доказана.
}}
Если сравнить это доказательство с доказательством аналогичной теоремы для интеграла Римана, то видим разницу: по сравнению с последней, теорема Лебега технически элементарна (по сравнению с Риманом). Это объясняется тем, что интеграл Лебега можно брать по любому измеримому множеству, а интеграл Римана привязан к отрезку.
