Изменения

Большая часть материала взята из Википедии, чтобы не перебивать формулы и все такое.Все остальное бралось из конспектов, лучший из них лежит на firun.ru

==Краткое содержание 5 семестра (версия 2009)== *'''Метрическое пространство''' <tex>M</tex> есть множество точек с '''метрикой''' <tex>d \colon M \times M \to \mathbb{R}</tex>:

*'''Банаховым пространством''' (''B-пространством'') называется нормированное линейное пространство , полное по метрике, порождённой нормой.

*'''Пространство непрерывных функций''' — линейное нормированное пространство, элементами которого являются непрерывные на отрезке <tex>[a,b]</tex> функции (обычно обозначается <tex>{\mathrm C}[a,b]</tex>). '''Норма ''' в этом пространстве определяется следующим образом: <tex>||x||_{{\mathbf C}[a,b]}=\max_{t\in [a,b]}|x(t)|</tex>

* '''Теорема Рисса — Фреше:''' Для любого непрерывного линейного функционала <tex>f</tex> на Гильбертовом пространстве <tex> H</tex> существует единственный вектор <tex>y \in H</tex> такой, что <tex>f(x)=(\langle x,y)\rangle</tex> для любого <tex>x \in H</tex>. При этом норма линейного функционала <tex>f</tex> совпадает с нормой вектора <tex>y</tex>: <tex>\|f\|=\sup_{\|x\|=1} |f(x)|= \sqrt{(\langle y,y)\rangle}</tex>. Теорема также означает, что пространство всех линейных ограниченных функционалов над <tex>H</tex> изоморофно пространству <tex>H</tex>.

*'''Теорема (Хан-Банах) ''' о продолжении линейного функционала с сохранением мажоранты: любой линейный функционал <tex>f(x)</tex>, определённый на подпространстве <tex>L</tex> линейного пространства <tex>X</tex> и удовлетворяющий условию <tex>|f(x)| \leq p(x), \forall x \in L</tex>, где <tex>p(x)</tex> — некоторый положительно однородный функционал (определённый на всем пространстве <tex>X</tex>) то <tex>f(x)</tex> может быть продолжен на все пространство <tex>X</tex> с сохранением этого условия.

*'''Теорема (Хан-Банах) ''' о непрерывном продолжении линейного функционала: всякий линейный функционал <tex>f(x)</tex>, определённый на линейном многообразии <tex>L</tex> линейного нормированного пространства <tex>X</tex>, можно продолжить на все пространство с сохранением нормы.

*Пусть <tex>A</tex> — оператор, действующий в банаховом пространстве <tex>E</tex>. Число λ называется '''регулярным''' для оператора <tex>A</tex>, если оператор <tex>R(\lambda)=(A - \lambda I)^{-1}</tex>, называемый '''резольвентой''' оператора <tex>A</tex>, определён на всём <tex>E</tex> и непрерывен. Множество регулярных значений оператора <tex>A</tex> называется '''резольвентным множеством''' этого оператора, а дополнение резольвентного множества — '''спектром''' этого оператора. ==Билеты - 5 семестр=====1. Принцип вложенных шаров в полном МП.=== {{Теорема|statement=<tex>X</tex> - полное МП, <tex>\overline{V}_{r_i} \subset X,\; \overline{V}_{r_{i+1}} \subset \overline{V}_{r_i},\; r_i \rightarrow 0 \Rightarrow \exists ! d \in \cap \overline{V}_{r_i}</tex>}} ===2. Теорема Бэра о категориях.=== {{Определение|definition='''Замыкание''' <tex>Cl \; A = F</tex>, если <tex>F</tex> - замкнутое, <tex>A \subseteq F</tex> и <tex>\forall</tex> замкнутого <tex>G: A \subseteq G \Rightarrow F \subseteq G</tex>}}{{Определение|definition=<tex>A</tex> '''всюду плотно''' в <tex>X</tex>, если <tex>Cl \; A = X</tex>}}{{Определение|definition=<tex>A</tex> '''нигде не плотно''' в <tex>X</tex>, если <tex>\forall V_r(x)\; \exists V_{r_1}(y) \subset V_r(x): V_{r_1}(y) \cap A = \O</tex>}}{{Определение|definition=<tex>A</tex> '''I категории по Бэру''' в <tex>X</tex>, если <tex>A = \cup A_i</tex> (счетное объединение), <tex>A_i</tex> нигде не плотно в <tex>X</tex>, иначе '''II категории'''}}{{Теорема|statement=<tex>X</tex> - полное МП <tex>\Rightarrow X</tex> - II категории в <tex>X</tex>}} ===3. Критерий компактности Хаусдорфа в МП.=== [[Теорема Хаусдорфа об ε-сетях]] ===4. Пространство <tex>R^{\infty}</tex>: метрика, покоординатная сходимость.=== <tex>(x_1^n, x_2^n, \ldots, x_m^n, \ldots) \to (x_1, x_2, \ldots, x_m, \ldots) \Leftrightarrow \forall m : x_m^n \to x_m</tex> <tex>\rho(x,y) = \sum\limits_{m=1}^{\infty}\frac{1}{2^m} \cdot \frac{|x_m - y_m|}{1+|x_m - y_m|}</tex> ===5. Компактность прямоугольника в <tex>R^{\infty}</tex>.=== ну компактен, хуле ===6. Постранство S(E, <tex>\mu</tex>).=== {{Определение|definition=<tex>S(E, \mu)</tex> - пространство измеримых функций на <tex>E</tex> по <tex>\mu</tex>. На этом пространстве определена метрика <tex>\rho (f, g) = \int\limits_E \frac{|f-g|}{1+|f-g|} d\mu</tex>}} ===7. Норма в линейном множестве, определение предела по норме, арифметика предела.=== {{Определение|definition='''Норма''' <tex>\| \cdot \| : X \to \mathbb{R}</tex>#<tex>\|x\| \geq 0, \; \|x\| = 0 \Leftrightarrow x=0</tex>#<tex>\|\alpha x\| = |\alpha|\|x\|</tex>#<tex>\|x+y\| \leq \|x\| + \|y\|</tex>}}{{Определение|definition=<tex>x_n</tex> '''сходится по норме''' к <tex>x</tex>, если <tex>\|x_n - x\| \to 0</tex>}} ===8. Эквивалентность норм в конечномерном НП.=== {{Определение|definition=<tex>\| \cdot \|_1 \sim \| \cdot \|_2</tex>, если <tex>\exists a, b \; \forall x : a\|x\|_1 \leq \|x\|_2 \leq b\|x\|_1</tex>}}{{Теорема|author=Рисс|statement=В конечномерном пространстве любые две нормы эквивалентны}} ===9. Замкнутость конечномерного линейного подмножества НП.=== {{Теорема|author=следствие из теоремы Рисса|statement=<tex>X</tex> - НП, <tex>Y</tex> - конечномерное линейное подмножество <tex>X \Rightarrow Y</tex> - замкнутое}} ===10. Лемма Рисса о почти перпендикуляре, пример ее применения.=== {{Лемма|author=Рисс, о почти перпендикуляре|statement=<tex>Y</tex> - собственное подпространство <tex>X \Rightarrow \forall \varepsilon \in (0, 1) \; \exists z_{\varepsilon} \in X : \|z_{\varepsilon}\| = 1,\; \rho(z_{\varepsilon}, Y) \geq 1 - \varepsilon</tex> (где <tex>\rho(z, Y) = \inf\limits_{y \in Y} \|z-y\|</tex>)|proof=<tex>\forall z \notin Y \; \forall \varepsilon\; \exists y_{\varepsilon} \in Y : \rho(z, Y) \leq \|z - y_{\varepsilon}\| \leq \frac{1}{1 - \varepsilon} \cdot \rho(z, Y)</tex> (по свойствам inf). Тогда положим <tex>z_{\varepsilon}</tex> из условия леммы равным <tex>\frac{z - y_{\varepsilon}}{\|z - y_{\varepsilon}\|}</tex>}}{{Лемма|author=пример применения леммы|statement=<tex>X</tex> - бесконечномерное НП <tex>\Rightarrow</tex> любой шар в нем - не компакт}} ===11. Банаховы пространства на примерах С[0,1] и Lp(E).=== {{Определение|definition='''Банахово пространство''' - полное нормированное пространство}}{{Определение|definition=<tex>C[0,1]</tex> - пространство непрерывных функций на <tex>[0,1]</tex>. На этом пространстве определена норма <tex>\|f\| = \max\limits_{t \in [0,1]}|f(t)|</tex>}}{{Определение|definition=<tex>L_p(E)</tex> - пространство измеримых на <tex>E</tex> функций<tex>f : \int\limits_E|f|^p < +\infty</tex>. На этом пространстве определена норма <tex>\|f\| = \sqrt[p]{\int\limits_E |f|^p}</tex>}} ===12. Определение скалярного произведения, равенство параллелограмма, неравенство Шварца.=== {{Определение|definition='''Скалярное произведение''' <tex>\langle x,y \rangle</tex>#<tex>\langle\alpha x_1 + \beta x_2,y \rangle = \alpha\langle x_1, y \rangle + \beta \langle x_2, y \rangle </tex>#<tex>\langle x,y \rangle = \langle y,x \rangle </tex>#<tex>\langle x,x \rangle \geq 0, \langle x,x \rangle = 0 \Leftrightarrow x = 0</tex>}}'''Равенство параллелограмма''': <tex>2\|x\|^2 + 2\|y\|^2 = \|x+y\|^2 + \|x-y\|^2</tex> '''Неравенство Шварца''': <tex>|\langle x,y \rangle| \leq \sqrt{\langle x,x \rangle} \cdot \sqrt{\langle y,y \rangle}</tex> ===13. Наилучшее приближение в НП в случае конечномерного подпространства.=== {{Теорема|statement=<tex>\forall x \; \exists y^* : E_n(x) = \|x - y^*\|</tex>}} ===14. Наилучшее приближение в унитарном пространстве, неравенство Бесселя.=== <tex>\{e_1, e_2, \ldots, e_n, \ldots\}</tex> - ортонормированная система. <tex>\alpha_i(x) = \langle x,e_i \rangle, \; \sum \alpha_i(x)e_i</tex> - абстрактный ряд Фурье <tex>\delta_n(x) = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i(x)e_i,\; E_n(x) = \|x-\delta_n(x)\|</tex> '''Неравенство Бесселя''': <tex>\sum \alpha_i^2(x) \leq \|x\|^2</tex> ===15. Определение Гильбертова пространства, сепарабельность и полнота.=== {{Определение|definition='''Гильбертово пространство''' - полное унитарное пространство. То есть для него выполняется:#Введено скалярное произведение#Введена норма: <tex>\|x\| = \sqrt{\langle x,x \rangle}</tex>#<tex>\|x_n - x_m\| \to 0 \Rightarrow \exists x : \|x_n - x\| \to 0</tex>}}{{Определение|definition=Пространство '''сепарабельно''', если у него существует счетное абсолютно плотное подмножество}}{{Лемма|statement=В гильбертовом пространстве существует ортонормированный базис тогда и только тогда, когда оно сепарабельно}} ===16. Теорема Рисса-Фишера, равенство Парсеваля.=== {{Теорема|author=Рисс - Фишер|statement=Пусть <tex>\{e_1, e_2, \ldots, e_n, \ldots\}</tex> - ортонормированная система в гильбертовом пространстве <tex>H</tex>, <tex>\sum\limits_{i=1}^{\infty} \alpha_i^2 \leq +\infty</tex>. Тогда <tex>\exists ! x \in H : \alpha_i = \langle x, e_i \rangle</tex> и выполняется '''равенство Парсеваля''': <tex>\sum \alpha_i^2(x) = \|x\|^2</tex>}} ===17.Наилучшее приближение в Н для случая выпуклого,замкнутого множества,<tex>H=H_1 \oplus H_2</tex>=== {{Теорема|statement=<tex>M</tex> - замкнутое выпуклое подмножество гильбертова пространства <tex>H</tex>. Тогда <tex>\forall x \in H\; \exists \overline{x} : \|x - \overline{x}\| = \inf\limits_{y \in M} \|x - y\|</tex>}}{{Теорема|statement=<tex>H_1</tex> - подпространство <tex>H,\; H_2 = H_1^{\perp} = \{y \mid \forall x \in H_1 : y \perp x\}</tex>. Тогда <tex>\forall x \in H\; \exists!x_1, x_2 : x = x_1 + x_2,\; x_i \in H_i</tex>}} ===18. Непрерывный линейный функционал и его норма.=== {{Определение|definition=Линейный функционал <tex>f</tex> '''ограничен''', если <tex>\|f\| = \sup\limits_{\|x\| \leq 1} |f(x)| < +\infty</tex>}}{{Определение|definition=Линейный функционал <tex>f</tex> '''непрерывен''' в <tex>x</tex>, если<tex>\forall \{x_n\} : x_n \to x \Rightarrow f(x_n) \to f(x)</tex>}}{{Лемма|statement=<tex>f</tex> непрерывен в <tex>x</tex> <tex>\Leftrightarrow</tex> <tex>f</tex> непрерывен в <tex>0</tex>}}{{Теорема|statement=<tex>f</tex> непрерывен <tex>\Leftrightarrow</tex> <tex>f</tex> ограничен}} ===19. Связь между непрерывностью линейного функционала и замкнутостью его ядра.=== {{Определение|definition='''Ядро''' линейного функционала <tex>Ker f = \{x \mid f(x) = 0\}</tex>}}{{Теорема|statement=<tex>f</tex> непрерывен <tex>\Leftrightarrow</tex> <tex>Ker f</tex> замкнуто}} ===20. Продолжение по непрерывности линейного функционала со всюду плотного линейного подмножества НП.=== {{Лемма|statement=Пусть <tex>X</tex> - НП, <tex>Y</tex> всюду плотно в <tex>X</tex>, <tex>f</tex> - ограниченный линейный функционал из <tex>Y</tex>. Тогда <tex>\exists !g : X \to \mathbb{R} : g(y) = f(y),\; \|g\| = \|f\|</tex> (существует единственное продолжение, сохраняющее норму)}} ===21. Теорема Хана-Банаха для НП (сепарабельный случай).=== {{Лемма|statement=Пусть <tex>X</tex> - линейное множество с введенной на нем полунормой <tex>p(x)</tex>, <tex>Y \subset X</tex>, <tex>f : Y \to \mathbb{R}</tex>, <tex>|f(y)| \leq p(y)</tex> (то есть функционал подчинен полунорме), <tex>z \notin Y</tex>, <tex>Z = L(Y, z)</tex>. Тогда <tex>\exists g : Z \to \mathbb{R} : g(y) = f(y),\; g(x) \leq p(x)</tex>}}{{Теорема|author=Хан - Банах|statement=Пусть <tex>X</tex> - линейное множество с введенной на нем полунормой <tex>p(x)</tex>, <tex>Y \subset X</tex>, <tex>f : Y \to \mathbb{R}</tex>, <tex>|f(y)| \leq p(y)</tex>. Тогда <tex>\exists g : X \to \mathbb{R} : g(y) = f(y),\; g(x) \leq p(x)</tex>, то есть продолжение <tex>f</tex>}} ===22. Два следствия из теоремы Хана-Банаха.=== '''Следствие 1''': <tex>X</tex> - НП, <tex>x_0 \in X</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\exists f : f(x_0) = \|x_0\|,\; \|f\| = 1</tex> '''Следствие 2''': <tex>X</tex> - НП, <tex>\{e_1, e_2, \ldots, e_n\}</tex> - ЛНЗ <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\exists \{f_1, f_2, \ldots, f_n\} : f_i(e_j) = \delta_{ij}</tex> (биортогональная система) ===23. Теорема Рисса об общем виде линейного непрерывного функционала в Н.=== {{Теорема|author=Рисс|statement=<tex>\forall f \in H^*\; \exists ! y \in H : f(x) = \langle x, y \rangle</tex>, причем <tex>\|f\| = \|y\|</tex>}} ===24. Непрерывный линейный оператор и его норма.=== {{Определение|definition=Линейный оператор <tex>A</tex> '''ограничен''', если <tex>\|A\| = \sup\limits_{\|x\| \leq 1} \|Ax\| < +\infty</tex>}}{{Определение|definition=Линейный оператор <tex>A</tex> '''непрерывен''' в <tex>x</tex>, если<tex>\forall \{x_n\} : x_n \to x \Rightarrow Ax_n \to Ax</tex>}}{{Теорема|statement=<tex>A</tex> непрерывен <tex>\Leftrightarrow</tex> <tex>A</tex> ограничен}} ===25. Продолжение линейного оператора по непрерывности.=== {{Лемма|statement=<tex>A: X_1 \to Y,\; Cl\;X_1 = X,\; Y</tex> - Банахово, <tex>\|A\| < +\infty</tex>. Тогда <tex>\exists !\tilde{A} : X \to Y : \tilde{A}x = Ax,\; \|\tilde{A}\| = \|A\|</tex>}} ===26. Полнота пространства L(X,Y).=== {{Определение|definition=<tex>L(X,Y)</tex> - пространство непрерывных линейных операторов из <tex>X</tex> в <tex>Y</tex>}}{{Лемма|statement=<tex>Y</tex> - Банахово <tex>\Rightarrow L(X,Y)</tex> - Банахово}} ===27. Теорема Банаха-Штейнгауза.=== {{Теорема|author=Банах - Штейнгауз|statement=Пусть <tex>\forall x : \sup\limits_n\|A_nx\| < +\infty</tex> (то есть последовательность поточечно ограничена). Тогда <tex>\sup\limits_n\|A_n\| < +\infty</tex> (то есть последовательность равномерно ограничена)}} ===28. Условие непрерывной обратимости лин. оператора.=== {{Теорема|author=|statement=Пусть <tex>A</tex> - ограниченный линейный оператор из <tex>X</tex> в <tex>Y</tex>, и <tex>\exists m\; \forall x \in X : m \|x\| \leq \|Ax\|</tex>. Тогда <tex>R(A)</tex> замкнуто, <tex>\exists A^{-1}:Y \to X,\; \|A^{-1}\| < +\infty</tex>}}

===29. Теорема Банаха о непрерывной обратимости I-С.=== {{Теорема|author=Банах|statement=Пусть <tex>X</tex> - Банахово, <tex>C \in L(X),\; \|C\| < 1</tex>. Тогда <tex>I - C</tex> непрерывно обратим.}} ===30. Теорема Банаха об обратном операторе.=== {{Теорема|author=Банах|statement=Пусть <tex>A</tex> - биективный линейный ограниченный оператор из <tex>X</tex> в <tex>Y</tex> (оба Банаховы). Тогда <tex>\exists A^{-1}:Y \to X,\; \|A^{-1}\| < +\infty</tex>}} ===31. Теорема о замкнутом графике.=== {{Теорема|statement=<tex>A</tex> непрерывен <tex>\Leftrightarrow</tex> <tex>G_A</tex> замкнут}} ===32. Теорема об открытом отображении.=== {{Теорема|statement=<tex>A</tex> непрерывен, <tex>G</tex> - открыто <tex>\Rightarrow</tex> <tex>A(G)</tex> - открыто}} ===33. Теорема об открытости резольвентного множества.=== {{Определение|definition='''Резольвентное множество''' линейного оператора <tex>\rho(A) = \{\lambda \mid \exists (A - \lambda I)^{-1}</tex> - непрерывный<tex>\}</tex>}}{{Определение|definition='''Спектр''' линейного оператора <tex>\sigma(A) = \mathbb{R} \setminus \rho(A)</tex>}}{{Теорема|statement=<tex>\rho(A)</tex> открыто}} ===34. Вхождение спектра в круг радиуса ||А||.=== {{Лемма|statement=<tex>\sigma(A) \subset \{\lambda \mid |\lambda| \leq \|A\| \}</tex>}} ===35. Спектральный радиус.=== {{Определение|definition='''Спектральный радиус''' <tex>r_{\sigma}(A) = \inf\limits_n \sqrt[n]{\|A^n\|}</tex>}}{{Теорема|statement=Относительно спектрального радиуса любого линейного оператора верны следующие утверждения:#<tex>r_{\sigma}(A) = \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{\|A\|^n}</tex>#<tex>\sigma(A) \subset \{\lambda \mid |\lambda| \leq r_{\sigma}(A) \}</tex>}} ===36. Аналитичность резольвенты.=== эммм... ===37. Непустота спектра ограниченного оператора.=== эммм... ===38. А* и его ограниченность.=== {{Определение|definition='''Сопряженным''' к оператору <tex>A : X \to Y</tex> называется такой оператор <tex>A^* : Y^* \to X^*</tex>, что <tex>A^* \varphi = \varphi \circ A</tex>, то есть <tex>A^*\varphi = f : f(x) = \varphi(Ax)</tex>}}{{Лемма|statement=<tex>\|A\|=\|A^*\|</tex>}} ===39. Ортогональные дополнения Е и Е*.=== {{Определение|definition='''Ортогональным дополнением''' линейного множества <tex>M \subset E</tex> называется множество <tex>M^{\perp} = \{f \in E^* \mid \forall x \in M f(x) = 0\}</tex>.<tex>M^{*\perp} = \{x \in E \mid \forall f \in M^* f(x) = 0\}</tex>. Заметим, что из непрерывности функционалов следует замкнутость ортогональных дополнений.}}{{Лемма|statement=<tex>E^{\perp} = \{0\},\; E^{*\perp} = \{0\}</tex>}} ===40. Ортогональное дополнение R(A).=== {{Теорема|statement=Пусть <tex>A</tex> - ограниченный ЛО, <tex>R(A)</tex> замкнуто. Тогда <tex>R(A) = (Ker A^*)^{\perp}</tex>}} ===41. Ортогональное дополнение R(A*).=== {{Теорема|statement=Пусть <tex>A</tex> - ограниченный ЛО, <tex>R(A)</tex> замкнуто. Тогда <tex>R(A^*) = (Ker A)^{\perp}</tex>}} ===42. Арифметика компактных операторов.=== {{Определение|definition=Оператор <tex>A</tex> '''компактен''', если <tex>\forall G : G</tex> - ограниченное <tex>\Rightarrow A(G)</tex> - относительно компактно}}{{Лемма|statement=Компактные операторы обладают следующими свойствами:#<tex>A</tex> - компактный, <tex>B</tex> - ограниченный <tex>\Rightarrow</tex> <tex>AB</tex> и <tex>BA</tex> - компактные#<tex>A_n</tex> - компактные, <tex>A_n \to A</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>A</tex> - компактный#<tex>A : X \to Y</tex> - компактный, <tex>X</tex> - бесконечномерно <tex>\Rightarrow</tex> оператор <tex>A</tex> не может быть непрерывно обратим}} ===43. О компактности А*, сепарабельность R(A).=== {{Теорема|statement=<tex>A</tex> - компактный <tex>\Rightarrow</tex> <tex>A^*</tex> - компактный}} ===44. Базис Шаудера, лемма о координатном пространстве.=== {{Определение|definition=Система точек <tex>\{e_1, e_2, \ldots, e_n, \ldots \} \subset X</tex> называется '''базисом Шаудера''', если любой элемент пространства <tex>X</tex> единственным образом представим в виде линейной комбинации этих точек}} ===45. Почти конечномерность компактного оператора.=== {{Теорема|statement=<tex>X</tex> - пространство с базисом Шаудера, <tex>A : X \to X</tex> - компактный <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\forall \varepsilon \; \exists B, C : A = B+C,\; \|C\| < \varepsilon,\; B</tex> - конечномерный (то есть <tex>R(B)</tex> конечномерно), <tex>B</tex> и <tex>C</tex> компактны}} ===46. О размерности Ker(I-A) компактного А.=== {{Лемма|statement=<tex>A</tex> - компактный <tex>\Rightarrow \dim(Ker (I - A)) < +\infty</tex>}} ===47. Условие замкнутости R(A) на языке решений операторного уравнения.=== {{Лемма|statement=Пусть <tex> A \in L(E, F) </tex>, и <tex> \exists \alpha \; \forall y \in R(A)\; \exists x \in E : \|x\| \leq \alpha \|y\| , Ax=y</tex>. Тогда <tex> R(A) </tex> - замкнуто.}} ===48. О замкнутости R(I-A) компактного А.=== {{Лемма|statement=Пусть оператор <tex> A </tex> - компактный. Тогда <tex> R(I - A) </tex> - замкнуто}} ===49. Лемма о Ker(I-A)*n компактного А.=== {{Лемма|statement=Пусть оператор <tex>A</tex> - компактный. Тогда <tex> \exists k : Ker(I - A)^{k + 1} = Ker(I - A)^k</tex>}} ===50. Об условии справедливости равенства R(I-A)=Е.=== {{Лемма|statement=Пусть оператор <tex>A</tex> - компактный. Тогда <tex> R(I - A) = X \Leftrightarrow Ker(I - A) = \{0\}</tex>}} ===51. Альтернатива Фредгольма-Шаудера.=== {{Теорема|author=альтернатива Фредгольма - Шаудера|statement=Пусть <tex>A : X \to X</tex> - компактный. Рассмотрим уравнение <tex>y = x - Ax</tex>. Возможны 2 случая:#<tex>Ker(I-A) = \{0\}</tex>. Тогда уравнение имеет решение при любом <tex>y</tex>#<tex>Ker(I-A) \neq \{0\}</tex>. Тогда уравнение имеет решение при <tex>y \in (Ker (I-A)^*)^{\perp}</tex>}} ===52. О спектре компактного оператора.=== {{Теорема|statement=Пусть оператор <tex>A</tex> - компактный. Тогда его спектр не более, чем счетный, и предельной точкой в нем может быть только <tex>0</tex>}}   ==Билеты- 6 семестр==

'''Def''': Пусть <tex>A:E\to F</tex> — непрерывный линейный оператор , действующий из банахова пространства <tex>E</tex> в банахово пространство <tex>F</tex>. И пусть <tex>E^*, F^*</tex> — сопряжённые пространства. Обозначим <tex>\forall x\in E, f\in F^* \langle Ax,f\rangle =f(Ax)</tex>. Если <tex>f</tex> — фиксировано, то <tex>\langle Ax,f \rangle </tex> — линейный непрерывный функционал в <tex>E, \langle Ax,f \rangle \in E^*</tex>. Таким образом, для <tex>\forall f\in F^*</tex> определён линейный непрерывный функционал из <tex>E^* </tex>, поэтому определён оператор <tex>A^*:F^*\to E^*</tex>, такой что <tex>\langle Ax,f \rangle=\langle x,A^*f \rangle</tex>.

'''Th''': Пусть задан линейный оператор <tex>A:E\to F</tex>, где <tex>E</tex> и <tex>F</tex> банаховы. Пусть также множество значений <tex>R(A)</tex> замкнуто в <tex>F</tex>. Тогда <tex>\overline{R(A) } = (Ker(A^*))^\perp</tex>.

'''Def''': Система векторов <tex>\{e_n\}</tex> топологического векторного пространства <tex>E</tex> называется '''базисом Шаудера''', если каждый элемент <tex>f \in E</tex> разлагается в ''единственный'', сходящийся к <tex>f</tex> ряд по <tex>\{e_n\}</tex>: <tex>f= \sum_{i=1}^{\infty} f_i e_i</tex>, где <tex>f_i</tex> — числа, называемые коэффициентами разложения вектора <tex>f</tex> по базису <tex>\{e_n\}</tex>. ===8. Почти конечномерность компактного оператора=== ----Теперь походим вокруг альтернативы Фредгольма-Шаудера. ===9. О размерности Ker(I-A) компактного А==='''Утв.''' Пусть <tex> A </tex> - компактный оператор, <tex> H = I - A </tex>.Тогда, <tex> dim (Ker H)< +\infty </tex> '''Следствие''' Множество решений операторного уравнения <tex> Ax = \lambda x, \lambda \in \mathbb{R} </tex> конечномерно. ===10. Условие замкнутости R(A) на языке решений операторного уравнения==='''Утв.''' Пусть <tex> A \in L(E, F) </tex> и <tex> \exists \alpha = const : \forall y \in R(A), y = A(x), \exists x \in E : \|x\| \le \alpha \|y\| </tex>. ''Тогда'', <tex> R(A) </tex> - замкнуто. ===11. О замкнутости R(I-A) компактного А==='''Утв.''' Пусть оператор <tex> A </tex> - компактный. Тогда, <tex> R(I - A) </tex> - замкнуто. ===12. Лемма о Ker(I-A)*n компактного А==='''Утв.''' Пусть оператор <tex>A</tex> - компактный.Тогда <tex> \exists k \in \mathbb{N}</tex>: <tex>Ker(I - A)^{k + 1} = Ker(I - A)^k</tex> ===13. Об условии справедливости равенства R(I-A)=Е==='''Утв.''' Пусть <tex> A </tex> - компактный оператор. Тогда,<tex> R(I - A) = E \Leftrightarrow Ker(I - A) = \{0\}</tex> ===14. Альтернатива Фредгольма-Шаудера==='''Th.''' (''Альтернатива Фредгольма-Шаудера'') Пусть <tex> A : E \rightarrow E </tex> - компактный оператор, <tex>E - B</tex>-пространство. Тогда, <tex> \forall \lambda \neq 0</tex> возможны только 2 случая:# <tex> Ker(\lambda I - A) = \{0\} \Rightarrow \lambda \in \rho(A) </tex># <tex> Ker(\lambda I - A) \neq \{0\} \Rightarrow </tex> (уравнение <tex>(\lambda I - A)x = y</tex> разрешимо относительно <tex>x) \Leftrightarrow y \in (Ker(\lambda I^{*} - A^{*}))^{\bot}</tex> ===15. О спектре компактного оператора=== ----Теперь это называется Теорией Гильберта-Шмидта ===16. О вещественности спектра ограниченного самосопряженного оператора==='''Утв.''' Пусть <tex> A </tex> - ограниченный и самосопряженный оператор. Тогда, <tex>\sigma(A) \subset \mathbb{R}</tex> ===17. О характеризации спектра и резольвентного множества ограниченного самосопряженного оператора==='''Th.''' Пусть <tex> A </tex> - ограниченный и самосопряженный оператор. Тогда, # <tex> \lambda \in \rho(A) \Leftrightarrow \exists m > 0 : \|(\lambda I - A)x\| \ge m \|x\| </tex># <tex> \lambda \in \sigma(A) \Leftrightarrow \exists \{x_n | \|x_n\| = 1\}</tex>, т.ч. <tex> \lim_{n \rightarrow \infty}\|(\lambda I - A)x_n\| = 0 </tex> ===18. О числах m- и m+==='''Def.''' <tex> m_{-} = \inf_{\|x\| = 1}\langle Ax, x \rangle</tex> '''Def.''' <tex> m_{+} = \sup_{\|x\| = 1}\langle Ax, x \rangle</tex> '''Def.''' Если для некоторого оператора <tex>L : \langle Ax, x \rangle \ge 0 </tex>, то <tex>L</tex> называется '''неотрицательным'''. '''Th.''' Пусть <tex>A</tex> - ограниченный и самосопряженный оператор. Тогда, <tex>\sigma(A) \subset [m_{-}, m_{+}]</tex>, и<tex>m_{-} \in \sigma(A), m_{+} \in \sigma(A)</tex> ===19. Спектральный радиус ограниченного самосопряженного оператора==='''Th.''' Пусть <tex>A</tex> - ограниченный, самосопряженный оператор. Тогда, <tex>\|A\| = r_{\sigma} = \max\{|m_{-}|, |m_{+}|\}</tex> ===20. Теорема Гильберта-Шмидта=== ===21. О диагонализации компактного самосопряженного оператора и разложении его резольвенты===  ----Элементы нелинейного функционального анализа. ===22. Теорема Банаха о сжимающем отображении=== '''Def''': Пусть на замкнутом шаре <tex>\overline{V} \subset X</tex>, где <tex>X</tex> - метрическое пространство, определён оператор <tex>A: \overline{V} \subset X \to X</tex>. Он называется сжатием на <tex>\overline{V}</tex>, если <tex>\exists\alpha\in(0; 1)</tex> такой, что для <tex>{\forall}x,y \in M</tex> выполняется <tex>{\rho(Ax,Ay)\leqslant\alpha{\cdot}\rho(x,y)}</tex>. '''Th.'''(''Банаха о неподвижной точке'')Пусть <tex>T : \overline{V} \to \overline{V}</tex> и является сжатием, тогда в этом шаре у оператора <tex>T</tex> <tex>\exists !</tex> неподвижная точка. [[Теорема Банаха о неподвижной точке]] ===23. Дифференциал Фреше=== Рассмотрим <tex>T : V_r(x_0) \to Y</tex>, где <tex>V_r(x_0) \subset X</tex> и, кроме того, <tex>X, Y</tex> - нормированные пространства. Пусть <tex>\|\delta x \| < r</tex>. Тогда, очевидно, <tex>x + \delta x \in V_r(x_0)</tex>.

9. О размерности KerОбозначим <tex>\delta T(Ix_0, \delta x) = T(x_0 + \delta x) -AT(x_0) компактного А</tex>.

10'''Def. Условие замкнутости R''' Отображение <tex>T</tex> называется дифференцируемым по Фреше в точке <tex>x_0</tex>, если существует оператор <tex>A_{x_0} \in L(AX,Y) на языке решений операторного уравнения</tex> такой, что <tex>\delta T(x_0, \delta x) = A_{x_0}(\delta x) + o(\delta x)</tex>, где <tex>o(\delta x)</tex> несёт следующий смысл: <tex>\frac{ {\|o(\delta x)\|}_Y } {{\| \delta x \|}_X} \to 0</tex>.

11Обычно, в случае дифференцируемого отображения используют следующее обозначение: <tex>T_{x_0}' = A_{x_0}</tex>. О замкнутости RПодчеркнем, что <tex>T_{x_0}': X \to Y</tex>. Аргументом является "отклонение" некоторой точки <tex>x'</tex> от <tex>x_0</tex>: <tex>x - x_0</tex>. А результат применения оператора: <tex>T(x') - T(Ix_0)</tex> с точностью до <tex>o(\delta x = x' -Ax) компактного А</tex>.

12'''Lm. Лемма о Ker''' Рассмотрим оператор <tex>T(I-Ax, t)*n компактного А=\int_0^1 K(t,s,x(s))ds</tex>, действующий на <tex>x(t) \in C[0,1]</tex>, и где <tex>K = W(v, y, z); v, y \in [0, 1]</tex>, <math> z \in \mathbb R</math>, и существует непрерывная по <tex>v, y, z</tex> производная <tex>\frac{\partial K}{\partial z}</tex>. Тогда в любой точке пространства <tex>C[0,1]</tex> это отображение дифференцируемо и его производная Фреше задается интегральным линейным по <tex>\delta x</tex>оператором: <tex>T_{x_0}'(\delta x, t) = \int_0^1 \frac{\partial K}{\partial z}(t, s, x_0(s))\delta x(s) ds</tex>.

13===24. Об условии справедливости равенства R(I-A)Неравенство Лагранжа===Е.

14'''Lm. Альтернатива Фредгольма''' (''Неравенство Лагранжа'')Пусть <tex>X, Y</tex> -Шаудера- нормированные пространства, <tex>V</tex> -- некоторый шар в <tex>X</tex> и дан оператор <tex>T : V \to Y</tex> и на всем этом шаре <tex>\exists T'(x)</tex>. Тогда для любых <tex>a, b \in V : \|T(b) - T(a)\| \le M {\|b - a\|}_X</tex>, где <tex>M = sup_{x \in [a, b]}\|T'(x)\|</tex>.

15. О спектре компактного оператора===25.Локальная теорема о неявном отображении===

16. О вещественности спектра ограниченного самосопряженного оператора'''Th.'''(''о неявном отображении'')

17. О характеризации спектра Пусть <tex>V</tex> - шар в <tex> X, V \subset X</tex>, а <tex>W \subset Y</tex> - шар в <tex>Y</tex>, и резольвентного множества ограниченного самосопряженного операторазадан оператор <tex>T : {V} \times {W} \rightarrow Y</tex>.

18. О числах m- и m+Пусть <tex>x_0 \in V,\: y_0 \in W,\: T(x_0, y_0) = 0 \in Y</tex>.

19. Спектральный радиус ограниченного самосопряженного оператораПусть <tex> \forall x \in V, \forall y \in W \quad \exists T^{'}_y </tex> - дифференциал Фреше, непрерывный как отображение переменных <tex>x</tex> и <tex>y</tex>.

20. Теорема ГильбертаПусть также <tex>T^{'}_{y}(x_0, y_0)</tex> -Шмидтанепрерывно обратим.

21. О диагонализации компактного самосопряженного оператора и разложении его резольвенты'''Тогда''' задача о неявном отображении для <tex>T(x, y) = 0</tex> c начальным решением <tex>T(x_0, y_0) = 0</tex> разрешима в некоторых окрестностях точек <tex>x_0, y_0</tex>, а именно: для любого <tex>x' \in V_{\delta_1}(x_0)</tex> существует единственное <tex>y' \in V_{\delta_2}(y_0) : T(x', y') = 0</tex> .

22===26. Теорема Банаха о сжимающем отображении.локальной обратимости отображения===

24Дано отображение <tex>T : V_r(x_0) \subset X \to V_r(y_0) \subset Y</tex>. Неравенство Лагранжа<tex>T(x_0) = y_0</tex>. Если существует непрерывно-обратимое отображение <tex>T_x '(x_0)</tex> и отображение <tex>T_x '(x)</tex>существует на всем шаре, то для любого <tex>y \in V_{\delta_2}(y_0)</tex> существует единственный <tex>x \in V_{\delta_1}(x_0) : T(x) = y</tex>.

25===27. Локальная теорема о неявном отображении.простой итерации===

26'''Th. Теорема '''(''о локальной обратимости отображенияпростой итерации'')<tex>T: V \subset X \to X</tex> и существует <tex>\overline{x} \in V : \overline{x} = T(\overline{x})</tex>. Кроме того, пусть <tex>\|T'(\overline{x})\| < 1</tex>. Тогда <tex>\exists \delta : \forall x_0 \in V_\delta(\overline{x})</tex> и <tex>x_{n + 1} = T(x_n)</tex> выполнено <tex>lim(x_n) = \overline{x}</tex>.

27===28. Локальная теорема о простой итерацииметоде Ньютона-Канторовича===

28'''Th. Локальная теорема '''(''о методе Ньютона-Канторовича'')<tex>F : V \to X, \exists \overline{x} \in V : F(\overline{x}) = 0</tex>. Кроме этого, пусть на <tex> V</tex> <tex> \exists F'(x)</tex>, непрерывная на нем. Тогда существует окрестность точки <tex>\overline{x}</tex>, в которой метод Ньютона-Канторовича осуществим. Т.е. <tex>\exists \delta > 0 : x_0 \in V_\delta(\overline{x}), x_{n + 1} = x_n - (F_{x_n}')^{-1}(F(x_n))</tex> и тогда: <tex> lim(x_n) = \overline{x} </tex>.

===29. О проекторах Шаудера==='''Lm.'''(''о проекторах Шаудера'')Пусть <tex>T: D \subset X \to X</tex>, где <tex>X</tex> -- нормированное пространство. Тогда существует последовательность компактных операторов <tex>T_n: T_n \rightrightarrows T</tex> на D, и при этом <tex>\forall T_n</tex> лежит в конечномерном подпространстве <tex>X</tex>.

===30. Теорема Шаудера о неподвижной точке==='''Th.'''(''Шаудера'')Если <tex>D</tex> -- ограниченное выпуклое замкнутое множество в Банаховом пространстве <tex>X</tex> и оператор <tex>T : D \to D</tex>, то у этого оператора на <tex>D</tex> существует неподвижная точка.