Изменения

Из измеримости <tex> f </tex> следует, что <tex> f_+ </tex> и <tex> f_- </tex> - также тоже будут измеримы. Также , они неотрицательны.

<tex> \int\limits_E f_+, \int\limits_E f_- </tex> — уже были определены в пределах <tex> fнами ранее. </tex>

{{Определение|definition=<tex> f </tex> '''суммируема ''' на <tex> E </tex>, если на нём суммируемы <tex> f_+ </tex> и <tex> f_- </tex>. В этом случае, <tex> \int\limits_E f \underset{\mathrm{def}}=(def) \int\limits_E f_+ - \int\limits_E f_- </tex>.}}

Заметим, что , по линейности <tex> \int\limits_E |f| = \int\limits_E f_+ + \int\limits_E f_- </tex>. Тогда <tex> |\int\limits_E f | \le \int\limits_E f_+ + \int\limits_E f_- = \int\limits_E |f| </tex>

Так как <tex> f_{+-} \le |f| </tex>, то их из суммируемости модуля вытекает суммируемость <tex> f_{+</tex> и <tex> f_-} </tex>.

Пример:Интеграл интеграл Дирихле: равен <tex> \int\limits_0^{+ \infty} \frac{\sin x}{x} = \frac{\pi}2 </tex> — по Риману, но по Лебегу она он не суммируемасуммируем.

Так как <tex> \int\limits_E </tex> определен линейной формулой, то на суммируемые функции произвольного знака переносятся также <tex> \sigma </tex>-аддитивность и линейность интеграла. Достаточно их написать для <tex> f_+, f_- </tex> и сложить.

Пусть <tex> f </tex> — суммируема на <tex> E </tex>. Тогда <tex> \forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0: \mu A < \delta, A \subset E \Rightarrow \left| \int\limits_A f \right| < \varepsilon </tex>

<tex> \left| \int\limits_A f \right| \le \int\limits_A |f| </tex>, то есть , достаточно рассмотреть неотрицательные функции.

По определению, для любого <tex> \forall \varepsilon \exists varepsillon </tex> существует хорошее <tex> e_{\varepsilon} : \int\limits_E f - \int\limits_{e_{\varepsilon}} f < \varepsilon </tex>. Тогда <tex> \overline{e_{\varepsilon}} = E \setminus {e_{\varepsilon}} </tex>, и по сигма-аддитивности, <tex> \int\limits_E = \int\limits_{e_{\varepsilon}} + \int\limits_{\overline{e_{\varepsilon}}} </tex>.

<tex> |f(x)| \le M_{\varepsilon} </tex> (так как f — ограничена{{TODO|t=че? почему ограничена?}}).

<tex> \forall B \subset E, \mu B < \infty </tex>;

<tex> B = B \cap E = B \cap (\overline{e_{\varepsilon}} \cup e_{\varepsilon}) = (B \cap \overline{e_{\varepsilon}}) \cup (B \cap e_{\varepsilon}) = B_1 \cup B_2 </tex>.

Итак <tex> \forall B \subset E, \mu B < + \infty </tex>: <tex> \int\limits_B f \le M_{\varepsilon} \mu B + \varepsilon </tex>. Потребуем, чтобы <tex> M_{\varepsilon} \mu B < \varepsilon </tex>. Тогда <tex> \mu B < \frac{\varepsilon}{M_{\varepsilon}} = \delta </tex>. Тогда получается, то что для таких <tex> B: \int\limits_B f < 2 \varepsilon </tex>, если <tex> \mu B < \delta = \frac{\varepsilon}{M_{\varepsilon}} </tex>. Подставляем <tex> \frac{\varepsilon}2 = \varepsilon </tex>.