Изменения
→Сигма-аддитивность
|statement=Пусть <tex>\exists\int\limits_E fd\mu, \int\limits_E gd\mu</tex>, <tex>\mu E(f\ne g) = 0</tex>. Тогда <tex>\int\limits_E fd\mu = \int\limits_E gd\mu</tex>
|proof=Действительно, <tex>E_1 = E(f \ne g)</tex> {{---}} измеримо, так как <tex>f</tex> и <tex>g</tex> {{---}} измеримы.
<tex>E(f\ne g) = \bigcup\limits_{n=1}^\infty (|f-g|\leq geq \frac1n)</tex> {{---}} счётное объединение измеримых множеств.
<tex>E_2 = E \setminus E_1</tex>. <tex>E</tex> разбито на две дизъюнктных части,
}}
Если вернуться к <tex>f = \begin{cases}0, & x \in \mathbb{Q}\\1, & x \notin \mathbb{Q}\end{cases}</tex> и <tex>g = 1</tex>, то, так как <tex> f = g </tex> везде, кроме нульмерного множества, то <tex>\int\limits_{[0;1]} fd\mu = \int\limits_{[0;1]}1d\mu = 1</tex>.
== Линейность ==
