1679
правок
Изменения
треш
По [[Мера Лебега в R^n | этой теореме]] существует такое множество <tex> K </tex> типа <tex> G_\delta </tex>, что <tex> E \subset K </tex> и <tex> \lambda_2 K = 0 </tex>. По доказанному выше, <tex> \int\limits_{\mathbb R} \lambda_1 K(x_1) d x_1 = \lambda_2 K = 0 </tex>, следовательно, так как <tex> f </tex> неотрицательна почти всюду, а ее интеграл нулевой, <tex> \lambda_1 K(x_1) = 0 </tex> для почти всех <tex> x_1 </tex>. Но <tex> E(x_1) \subset K(x_1) </tex> при каждом <tex> x_1 </tex>, и так как мера <tex> \lambda_1 </tex> полна, то сечения <tex> E(x_1) </tex> измеримы и <tex> \lambda_1 E(x_1) = 0 </tex> для почти всех <tex> x_1 </tex>. Отсюда по теореме ??? следует, что функция <tex> \lambda_1 E(x_1) </tex> - измерима, а <tex> \int\limits_{\mathbb R} \lambda_1 E(x_1) d x_1 = 0 = \lambda_2 E </tex>.
{{TODO|t=WTF??}}
<tex> E = G \setminus K, E \subset G, G </tex> типа <tex> G_\delta, K </tex> — нульмерно (<tex> \lambda_2 K = 0 </tex>), что и требовалось доказать
5) <tex> E </tex> — произвольное измеримое множество.
Подбираем множество <tex> K </tex> типа <tex> G_\delta </tex> так, чтобы <tex> E \subset K </tex> и <tex> \lambda_2(K \setminus E) = 0 </tex>. Тогда <tex> E(x_1) = K(x_1) \setminus (K \setminus E)(x_1) </tex>, а почти все сечения множества <tex> K \setminus E </tex>, по пункту 4, имеют меру 0. Следовательно, сечения <tex> E(x_1) </tex> измеримы и <tex> \lambda_1 E(x_1) = \lambda_1 K(x_1) </tex> для почти всех <tex> x_1 </tex>, функция <tex> \lambda_1 E(x_1) </tex> измерима (почему?),а <tex> \int\limits_{\mathbb R} \lambda_1 E (x_1) d x_1 = \int\limits_{\mathbb R} K(x_1) d x_1 = \lambda_2 K = \lambda_2 E </tex>.
}}
