Изменения
→Всюду плотность C в L_p
|statement=
Измеримые ограниченные функции образуют всюду плотное множество в <tex>L_p</tex>
|proof=
По абсолютной непрерывности интеграла для любого <tex>\varepsilon</tex> существует <tex>\delta</tex> такое, что для <tex>A \subset E</tex> из <tex>\mu A < \delta</tex> следует <tex>\int_A f^p d\mu < \varepsilon^p</tex>.
}}
Непрерывные функции образуют всюду плотное множество в <tex>L_p</tex>
|proof=
Пусть <tex>f \in L_p</tex>, подберём ограниченную <tex>g</tex>, такую, что <tex>\|f - g\| < \varepsilon / 2</tex>. Пусть <tex>|g| \le K</tex>. По теореме Лузина существует такая непрерывная функция <tex>\varphi</tex>, что <tex>\mu E(\varphi \neq g) < \frac{\varepsilon^p}{(4K)^p}</tex> и <tex>|\varphi| \le K</tex>. Тогда <tex>\|\varphi - g\|^p = \int_E (\varphi - g)^p d\mu = \int_{E(\varphi \neq g)} (\varphi - g)^p \le (2K)^p \cdot \mu E(\varphi \neq g) < (\varepsilon / 2)^p</tex>, то есть <tex>\|\varphi - g\| \le < \varepsilon / 2</tex>.
По неравенству треугольника, <tex>\|f - \varphi\| < \varepsilon</tex>, следовательно, непрерывные функции образуют всюду плотное множество в <tex>L_p</tex>.
