304
правки
Изменения
→Единственность предела по мере
|proof=
Определим следующие множества:
* <tex>P_n = E(|f - g| > \ge 1/n)</tex>* <tex>P'_n _{nk} = E(|f_n f_k - f| > \ge 1/n2n)</tex>* <tex>P''_n _{nk} = E(|f_n f_k - g| > \ge 1/n2n)</tex>
Заметим, что <tex>P_n \subset (P'_n \cup P''_n)</tex>: если <tex>x \notin P'_{nk} \cup P''_{nk}</tex>, то <tex>|f_k(x) - f(x)| < 1/2n</tex> и <tex>|f_k(x) - g(x)| < 1/2n</tex>, а тогда <tex>|f(x) - g(x)| < |f(x) - f_k(x)| + |g(x) - f_k(x)| = 1 / n</tex>, т.е. <tex>x \notin P_n</tex>.
По полуаддитивности меры <tex>\mu P_n \le \mu P'_{nk} + P''_{nk}</tex>. Сумма в правой части стремится к нулю при <tex>k \rightarrow \infty</tex>, следовательно, <tex>\mu P_n = 0</tex>. Поскольку <tex>E(f \neq g) = \bigcup\limits_{n = 1}^\infty P_n</tex>, то <tex>\mu E(f \neq g) \le \sum\limits_{n = 1}^\infty \mu P_n = 0</tex>, что и требовалось доказать.
}}
[[Предельный переход в классе измеримых функций|<<]][[Классические теоремы теории измеримых функций|>>]]
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]
